Questione sulla regolarità di una soluzione formale di una EDP

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Considera il problema seguente
\[
\left\{\begin{matrix}
(2+t) \frac{\partial u}{\partial t} & = & \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&& x \in ]0, \pi[& t >0 \\
u(0,t) & = &u(\pi,t)& =&0& t >0 \\
u(x,0) & = &f(x)&&& x \in ]0, \pi[
\end{matrix}\right.
\]
i) Trova una soluzione formale.
ii) Sotto l'ipotesi \(f \in L^1(0, \pi) \) dimostra la regolarità della soluzione.
iii) Sotto l'ipotesi che \(f \in \mathcal{C}^4 \) dimostra che \(\lim_{t \to 0} u(x,t) = f(x) \).

Avrei una domanda sulla parte ii). Metto la parte i) che magari ho sbagliato a trovare la soluzione formale. Ad ogni modo metto i procedimenti sotto spoiler così il commento non diventa inutilmente lungo.

Per i)

procedo con separazione di variabili e pongo \( u(x,t) = v(x)w(t) \).
Allora il problema diviene
\[
\left\{\begin{matrix}
(2+t) v(x)w'(t) & = & v''(x)w(t) && x \in ]0, \pi[& t >0 \\
v(0)w(t)& = &v(\pi)w(t)& =&0& t >0 \\
v(x)w(0) & = &f(x)&&& x \in ]0, \pi[
\end{matrix}\right.
\]
Innazittutto vediamo che nella prima equazione siccome ho \( (2+t) \frac{w'(t)}{w(t)} = \frac{v''(x)}{v(x)} \) allora necessariamente dev'essere uguale ad una costante \( \lambda \) poiché una derivata per rapporto a \(t \) unicamente è uguale ad una derivata per rapporto a \(x\) unicamente. La seconda equazione posso semplificare per \(w(t)\).
Separiamo in un problema in \(v \) e in un problema in \(w\).
Problema in \(v \):
\[
\left\{\begin{matrix}
v''(x)- \lambda v(x) &=& 0&&\\
v(0)&=&v(\pi)&=&0
\end{matrix}\right.
\]
Problema in \(w \):
\[
\left\{\begin{matrix}
\frac{w'(t)}{w(t)} = \frac{\lambda}{2+t}
\end{matrix}\right.
\]
e lascio da parte le condizioni che mischiano sia \(v\) che \(w\). E risolviamo il problema in \(v\). Abbiamo dunque che \( \lambda = - n^2 \) e \(v_n(x)=\alpha_n \sin(nx) \).
Dunque ora risolviamo il problema in \(w\)
\[ \frac{w'(t)}{w(t)} = -\frac{n^2}{2+t}\]
Abbiamo che \( \frac{d}{dt} \ln (w(t) ) =\frac{d}{dt} (-n^2 \ln (2+t) )\) e dunque prendendo l'esponenziale deduciamo che
\[ w(t)=\frac{k_n}{(2+t)^{n^2}} \]
Abbiamo pertanto, rinominando \( \alpha_n = \alpha_n k_n\) otteniamo dunque \( u_n(x,t)=\alpha_n \sin(nx)\frac{1}{(2+t)^{n^2}} \) e la soluzione formale è data da
\[ u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n \sin(nx)\frac{1}{(2+t)^{n^2}} \]
Riprendendo la condizione lasciata da parte dovremmo avere che
\[ u(x,0)= \sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n \sin(nx)\frac{1}{2^{n^2}}=f(x) \]
Dunque se \(f\) si può scrivere come serie di Fourier in seno unicamente
\[ a_n = 2^{n^2} \alpha_n = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx\]
Pertanto otteniamo che
\[ u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(nx)\left( \frac{2}{(2+t)}\right)^{n^2} \]
che è il candidato alla nostra soluzioni formale.

ii)

Ora supponendo \(f \in L^1 \) devo dimostrare la regolarità. Dunque dimostrare
1) che \( u \in \mathcal{C}^{\infty} \) ed \(u_N \to u \) localmente uniformemente e
2) che \( \frac{\partial u}{\partial t} = \phi_{t} \), e \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \phi_x \).
Per fare ciò mi basta dimostrare che
1) \(u_N \to u \) puntualmente e
2) che \( \frac{\partial u_N}{\partial t} \to \phi_{t} \), e \( \frac{\partial^2 u_N}{\partial x^2} \to \phi_x \) localmente uniformemente.
Dove
\[ u_N(x,t) = \sum_{n=0}^{N} a_n \sin(nx)\left( \frac{2}{(2+t)}\right)^{n^2} \]
e
\[ \phi_t(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \sin(nx)\left( -2^{n^2}n^2 \cdot \frac{1}{(2+t)^{n^2+1}}\right) \]
e
\[ \phi_x(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} -n^2 a_n \sin(nx)\left( \frac{2}{(2+t)}\right)^{n^2} \]

Così posso usare un teorema che afferma dunque che \( u \in \mathcal{C}^{\infty} \) e \( \frac{\partial u}{\partial t} = \phi_{t} \) e \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \phi_x \).
E in questo modo dimostro la regolarità. O basterebbe dimostrare che \(u \in \mathcal{C}^2 \) ? Ed il fatto che \( u \in \mathcal{C}^{\infty}\) è gratuito.

Enuncio il teorema per semplicità di notazione solo per il primo ordine di derivata ma è generalizzabile.
Sia \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) un aperto, \( u_n \in \mathcal{C}^1(\Omega) \) una successione di funzioni e \(u,g_1,\ldots,g_n : \Omega \to \mathbb{R} \) tale che
\[ u_n(x) \to u(x), \forall x \in \Omega \]
e
\[ \frac{\partial u_n}{\partial x_i} \to g_i \]
localmente uniformemente in \( \Omega \) per ogni \( i \leq i \leq n \).
Allora
1) \( \frac{\partial u}{\partial x_i} = g_i \)
2) \(u_n \) converge verso \(u\) localmente uniformemente in \( \Omega\).

[Bremen000]

Ciao, non ho letto tutto super attentissimamente e non vedo queste cose da un pochino quindi prendi con le pinze quello che dirò.

Con il teorema che citi (opportunamente generalizzato all'ordine \( 2 \) di derivate parziali ) arrivi a dimostrare, posto che tu riesca a dimostrare la convergenza uniforme delle serie delle derivate formali di ordine \(2\), che \( u \in C^2(\Omega) = (0,\pi) \times (0, + \infty) \). Come fai da qua a dire che in effetti \( u \in C^{\infty} (\Omega) \)?

Non ho capito quale argomento useresti...

Lungi da me sapere come risolverlo in generale...

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Poiché \(f \in L^1(0,\pi) \) deduco che i coefficienti \(a_n\) della serie di Fourier di \(f\) sono uniformemente limitati da un certo \(M \in \mathbb{R}_+\). Dunque la serie che definisce \(u \) e tutti i candidati (ovvero permuto senza pormi il problema serie e derivate) alle sue derivate parziali in \(x\) convergono poiché quando \(t > 0 \) abbiamo che \( \frac{2}{2+t} < \delta_K < 1 \) dove \(K\subset \Omega \) è un compatto e inoltre \( \left| \frac{\partial^k }{\partial x^k} \sin(nx) \right| \leq n^k\) dunque la serie
\[ \sum_{n=1}^{ \infty} n^k M \delta_K^{n^2} < + \infty \]
Un ragionamento analogo per i candidati alle derivate parziali solo in \(t\).
A posteriori poi posso verificare che la serie delle derivate parziali delle somme parziali \(u_N\) converge localmente uniformemente ai rispettivi candidati delle derivate parziali per ogni ordine di derivata.

Quindi dovrebbe essere \( u \in \mathcal{C}^{\infty} \) no?

Le mie domande comunque erano
- È sufficiente dimostrare che \(u \in \mathcal{C}^2 \) oppure devo dimostrare che è \( \mathcal{C}^{\infty} \)?
- La stessa argomentazione che \( u \in \mathcal{C}^2 \) dovrebbe funzionare per ogni ordine di derivata parziale dunque in effetti, penso e potrei sbagliarmi, che \( u \in \mathcal{C}^{\infty} \), per ho scritto che \( u \in \mathcal{C}^{\infty} \) è gratuito, se la risposta alla prima domanda (quella sopra) è affermativa, non che dal fatto che \( u \in \mathcal{C}^2 \) deduco gratuitamente che \( u \in \mathcal{C}^{\infty} \).
- Penso che se l'argomentazione funziona per \(u \in \mathcal{C}^2 \) necessariamente funziona (in questo caso) per \( u \in \mathcal{C}^{\infty} \). Solo in questo caso oppure sempre?

[Bremen000]

Ciao, si sono d'accordo con la tua soluzione.

- Dipende cosa intendi per "regolare". Sicuramente dimostrando che è \( C^{\infty} \) tagli la testa al toro.
- Vero è la stessa argomentazione.
- Penso che si possano scegliere male i coefficienti in modo da non ottenere necessariamente \( C^{\infty} \) ma non mi ci giocherei 100 euro.

Avevo capito male, credevo intendessi \( u \in C^2 \Rightarrow u \in C^{\infty} \).

Magari qualcuno di più ferrato su queste cose passa per di qua e sa fare meglio di me!

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Per il ii) quindi fatto in modo più preciso quindi va bene così?

\[ \left| \frac{\partial u_N}{\partial t} (x,t) - \phi_t(x,t) \right| = \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \sin(n x) \left( -2^{n^2}n^2 \frac{1}{(2+t)^{n^2+1}} \right) \right| \]
\[ \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} \left| a_n \sin(n x) \left( -2^{n^2}n^2 \frac{1}{(2+t)^{n^2+1}} \right) \right| \]
inoltre poiché \(f \in L^1(0,\pi) \) abbiamo che \( \sup_{n \in \mathbb{N}} \left| a_n \right| = M \in \mathbb{R}_+ \) ed inoltre poiché \( \left| \sin(nx) \right| \leq 1 \). Inoltre per ogni compatto \(K \) possiamo trovare un \( \left| \frac{1}{(2+t)^{n^2+1}} \right| < \delta_K^{n^2+1} <1 \) pertanto
\[ \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} M 2^{n^2} n^2 \delta_K^{n^2+1} \xrightarrow[N\to \infty]{} 0 \]
E siccome l'ultimo termine è indipendente da \( (x,t) \) la convergenza risulta localmente uniforme e pertanto abbiamo che \( \frac{\partial u_N}{\partial t} (x,t) \to \phi_t(x,t) \), localmente uniformemente in \((x,t) \). In modo analogo abbiamo che
\[ \left| \frac{\partial^2 u_N}{\partial x^2} (x,t) - \phi_x(x,t) \right| \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} \left| a_n \sin(n x) ( -n^2) \left( \frac{2}{(2+t)} \right)^{n^2} \right| \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} M n^2 \delta_K^{n^2} \xrightarrow[N\to \infty]{} 0 \]

E la convergenza locale uniforme di \( \frac{\partial^2 u_N}{\partial x^2} (x,t) \to \phi_x(x,t) \) arriva dal fatto che l'ultimo termine è indipendente da \( (x,t) \).

Inoltre \( u_N \to u \) puntualmente per definizione di serie convergente, poiché \(u_N\) è la somma parziale di \(u\). Dunque \( \forall (x,t) \) abbiamo che
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left| a_n \sin(nx) \left( \frac{1}{(2+t)} \right)^{n^2} \right| \leq M \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{(2+t)} \right)^{n^2} < \infty \]
poiché \( \forall t >0 \) abbiamo che \( 2/(2+t) < 1 \), dunque converge assolutamente e dunque converge.
Quindi per il teorema concludiamo che \( \frac{\partial u}{\partial t} = \phi_t \), \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \phi_x \) e \( u \in \mathcal{C}^2 \), e \( u_N \to u \) uniformemente.

Dunque l'equazione \( (2+t) \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \) è soddisfatta dalla nostra soluzione formale.

Ps: continuo a non capire perché richiedere che sia \(u \in \mathcal{C}^2 \), nel senso l'importante è che sia 2 volte derivabile non che la derivata seconda sia continua, no? Cioé io chiederei che sia \( \mathcal{C}^1 \) e 2 volte derivabile su \( \Omega \). Perché richiedere anche la continuità?

"Bremen000":
- Dipende cosa intendi per "regolare". Sicuramente dimostrando che è \( C^{\infty} \) tagli la testa al toro.

Non capisco cosa s'intende per "regolarità" sostanzialmente

Per il iii)

Supponiamo \(f \in \mathcal{C}^4 \) e abbiamo dunque che esiste \(k \) tale che per ogni \(n\) abbiamo che \( \left| a_n \right| \leq \frac{k}{n^4} \) dunque
\[ \left| u(x,t) - f(x) \right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \left| a_n \sin(nx) \left( 1- \left( \frac{2}{(2+t)} \right)^{n^2} \right) \right| \]
\[ \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k}{n^4} \left| \left( 1- \left( \frac{2}{(2+t)} \right)^{n^2} \right) \right| \]
inoltre abbiamo che
\[ 1- \left( \frac{2}{(2+t)} \right)^{n^2} = 1 - e^{- \ln \left( \frac{2+t}{2} \right)^{n^2}} \leq n^2 \ln\left( \frac{2+t}{2} \right)\]
pertanto abbiamo che
\[ \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k}{n^4} n^2 \ln\left( \frac{2+t}{2} \right) = k \ln\left( \frac{2+t}{2} \right) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \xrightarrow[t \to 0]{} 0 \]

Dunque la condizione al bordo \( u(x,0) = f(x) \) è soddisfatta dalla nostra soluzione formale e pertanto \( u \) è effettivamente soluzione al problema.

[Bremen000]

A rigore hai ragione, basta che $u \in C^1(\Omega)$ e derivabile due volte in spazio. La parola "regolare" non significa nulla a meno che non si sia specificato altrove. Quello che hai fatto mi sembra corretto. Nessuno ti ha chiesto che sia $C^2$ ma siccome appaiono delle derivate seconde mi pare una "definizione" ragionevole di regolarità.

Per il iii) mi sembra che vada bene, non ho tuttavia controllato tutti i conti.

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"3m0o":
\[ \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} M 2^{n^2} n^2 \delta_K^{n^2+1} \xrightarrow[N\to \infty]{} 0 \]

Purtroppo mi sono reso conto che è falso, poiché per d'alambert la serie
\[ \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n^2} n^2 x^{n^2+1} \]
ha raggio di convergenza zero! Infatti
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2^{(n+1)^2} (n+1)^2}{2^{n^2} n^2} = \lim_{n \to \infty} 2^{2n +1}=\infty \]
Pertanto non posso argomentare che la coda della serie va a zero!
Quindi non so come dimostrare che

"3m0o":
\[ \left| \frac{\partial u_N}{\partial t} (x,t) - \phi_t(x,t) \right| \to 0 \]

uniformemente localmente in \((x,t) \).

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"3m0o":\[ \left| \frac{\partial u_N}{\partial t} (x,t) - \phi_t(x,t) \right| = \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \sin(n x) \left( -2^{n^2}n^2 \frac{1}{(2+t)^{n^2+1}} \right) \right| \]
\[ \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} \left| a_n \sin(n x) \left( -2^{n^2}n^2 \frac{1}{(2+t)^{n^2+1}} \right) \right| \]
inoltre poiché \(f \in L^1(0,\pi) \) abbiamo che \( \sup_{n \in \mathbb{N}} \left| a_n \right| = M \in \mathbb{R}_+ \) ed inoltre poiché \( \left| \sin(nx) \right| \leq 1 \).

Inoltre per ogni compatto \(K \) possiamo trovare un \( \left( \frac{2}{2+t} \right)^{n^2+1} < \delta_K^{n^2+1} <1 \)
Dunque abbiamo che
\[ \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} M \frac{n^2}{2} \delta_K^{n^2+1} = \sum_{n=N+1}^{\infty} M \frac{n^2}{2} e^{-(n^2+1) \ln(1/\delta_{K}) } \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} M \frac{n^2}{2} e^{-(n^2+1) } \xrightarrow{N \to \infty} 0 \]

Così dovrebbe funzionare.

Edit: in effetti lo stesso argomento dimostra che \(u \in \mathcal{C}^{\infty} \)

Chiamando
\[ g_{\ell,m}(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \frac{\partial^{\ell}}{\partial x^{\ell}} \sin(nx) \frac{\partial^{m}}{\partial t^{m} } \left( \frac{2}{2+t} \right)^{n^2} \]
E
\[ \frac{ \partial^{\ell + m} u_N}{\partial x^{\ell} \partial t^{m}}(x,t) = \sum_{n=0}^{N} a_n \frac{\partial^{\ell}}{\partial x^{\ell}} \sin(nx) \frac{\partial^{m}}{\partial t^{m} } \left( \frac{2}{2+t} \right)^{n^2} \]
In effetti per ogni \( (\ell,m) \in \mathbb{N}_{\geq 1}^2 \) abbiamo che \( \frac{ \partial^{\ell + m} u_N}{\partial x^{\ell} \partial t^{m}} \to g_{\ell,m} \) localmente uniformemente.
Infatti
\[ \left| \frac{ \partial^{\ell + m} u_N}{\partial x^{\ell} \partial t^{m}}(x,t) - g_{\ell,m}(x,t) \right| \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} \left| a_n \frac{\partial^{\ell}}{\partial x^{\ell}} \sin(nx) \frac{\partial^{m}}{\partial t^{m} } \left( \frac{2}{2+t} \right)^{n^2} \right| \]

Ora abbiamo che come prima che \( \left| a_n \right| \leq M \) per ogni \(n \), inoltre \( \left| \frac{\partial^{\ell}}{\partial x^{\ell}} \sin(nx) \right| \leq n^{\ell} \).
Allo stesso tempo abbiamo che
\[ \frac{\partial^{m}}{\partial t^{m} } \left( \frac{2}{2+t} \right)^{n^2} = \frac{(-1)^m}{2^m} \frac{(n^2+m-1)!}{(n^2-1)!} \left( \frac{2}{2+t} \right)^{n^2+m} = \frac{(-1)^m}{2^m} \frac{(n^2+m-1)!}{(n^2-1)!} e^{-(n^2+m) \ln\left( \frac{2+t}{2} \right)} \]
e per ogni compatto abbiamo che possiamo trovare un \( \delta \), tale che \( \frac{2}{2+t} < \delta < 1 \) pertanto otteniamo che
\[ \frac{(-1)^m}{2^m} \frac{(n^2+m-1)!}{(n^2-1)!} e^{-(n^2+m) \ln\left( \frac{2+t}{2} \right)} \leq \frac{(-1)^m}{2^m} \frac{(n^2+m-1)!}{(n^2-1)!} e^{-(n^2+m)} \]
Dunque
\[\left| \frac{ \partial^{\ell + m} u_N}{\partial x^{\ell} \partial t^{m}}(x,t) - g_{\ell,m}(x,t) \right| \leq M \sum_{n= N+1}^{\infty} \frac{n^{\ell}}{2^m} \frac{(n^2+m-1)!}{(n^2-1)!} e^{-(n^2+m)} \]
e per D'Alambert questa serie converge infatti
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)^{\ell}}{2^m} \frac{(n^2+m)!}{(n^2)!} e^{-(n^2+m+1)}}{\frac{n^{\ell}}{2^m} \frac{(n^2+m-1)!}{(n^2-1)!} e^{-(n^2+m)}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{\ell} (n^2+m)}{n^{\ell+2} } e^{-1} = e^{-1} < 1 \]

Pertanto la coda della serie va a zero e concludiamo che
\[ \left| \frac{ \partial^{\ell + m} u_N}{\partial x^{\ell} \partial t^{m}}(x,t) - g_{\ell,m}(x,t) \right| \xrightarrow{N \to \infty} 0 \]
in modo localmente uniformemente poiché l'ultimo termine non dipende da \((x,t) \). Allo stesso modo abbiamo che \( u_N \in \mathcal{C}^{\infty} \) in quanto combinazione lineare di funzioni \( \mathcal{C}^{\infty} \) e dunque \(u \in \mathcal{C}^{\infty} \).