Limiti di successioni in D' e S'

[reggi96]

buongiorno a tutti,
mi trovo in enorme difficolta con questo esercizio:
Sia $ g(x)=e^(-x)H(x) $ , data la successione di funzioni \( f_n(x)=g(x)\ast \chi _{[0,n ]} (x) \)

(iii) stabilire il limite della successione in D'(R) e in S'(R).

ho le soluzioni a portata di mano, ma non le capisco completamente (in D maggiora sfruttando il supporto, in S con la convergenza dominata).

vorrei sapere quali solo i ragionamenti che devo fare nell'affrontare questo tipo di esercizi e se possibile qualche delucidazione in merito agli spazi in questione.
l uniche cose che so di questi spazi è che uno è lo spazio delle funzioni test a supporto compatto l'altro delle funzioni a decrescita rapida ma non avendo mai fatto esercizi con successioni che sono convoluzioni mi trovo un po in difficoltà.

grazie mille

[gugo82]

Aspetta... $mathcal(D)^\prime$ e $mathcal(S)^\prime$ sono gli spazi delle distribuzioni (tutte e quelle temperate, rispettivamente) non quelli dei test.
Quindi l'esercizio ti sta chiedendo di trovare il limite di $f_n$ nel senso delle distribuzioni.

[reggi96]

esattamente pero (onestamente senza aver capito benissimo a piu a esercizio meccanico) ogni volta che devo calcorare dei limiti in D' e S' semplicemente io analizzo l'effetto della funzione su una funzione test rispettivamente appartentente a D e a S però ho forti dubbi in proposito. se per caso hai un link a un topic gia affrontato o a un sito di spiegazione di come trattare questi limiti. del perche alcune volte uso la convergenza dominata e in altre sembra sia sbagliata. evidentemente mi manca un tassello del puzzle

[gugo82]

Ah, ecco, non avevo capito.

Insomma vuoi stabilire qual è il limite delle distribuzioni regolari $F_n$ rappresentate dalle funzioni $f_n$ sugli spazi dei test $mathcal(D) = C_c^oo$ ed $mathcal(S)$.

Ricordo che una distribuzione $F$ è detta regolare se esiste una funzione $f in L_text(loc)^1$ tale che:

$<< F, phi >> = int_(-oo)^(+oo) f(x) * phi(x) text(d) x$

per ogni test $phi$; in tal caso, si dice che $f$ rappresenta $F$.

Ora, le funzioni:

$f_n(x) = e^(-x) * H(x) * chi_("["0,n"]")(x) = \{ (e^(-x), ", se " 0 <= x <= n), (0, ", se " x < 0 vv x > n) :}$

(in cui immagino che $H$ sia il gradino unitario centrato in $0$ e $chi_E$ sia la funzione caratteristica di $E$) sono q.o. continue, quindi sono localmente sommabili e rappresentano le distribuzioni regolari $F_n$ definite ponendo:

$<< F_n, phi >> = int_0^n e^(-x) * phi(x) text(d) x$

per ogni $phi in mathcal(D) = C_c^oo$ oppure $phi in mathcal(S)$.

Il limite della successione $(F_n)$ in $mathcal(D)^\prime$ è -se esiste- l'unica distribuzione $F in mathcal(D)^\prime$ tale che:

$<> = lim_n << F_n, phi >>$

per ogni test $phi in mathcal(D)$.
Analogamente, il limite della successione $(F_n)$ in $mathcal(S)^\prime$ è -se esiste- l'unica distribuzione $hat(F) in mathcal(S)^\prime$ tale che:

$<< hat(F) , phi >> = lim_n << F_n, phi >>$

per ogni test $phi in mathcal(S)$.
Conseguentemente, la distribuzione limite $F$ [risp. $hat(F)$ ] è -se esiste- quella che viene fuori dal passaggio al limite:

$<< F, phi >> = lim_n int_0^n e^(-x) * phi(x) text(d) x$ [risp. $<< hat(F), phi >> = lim_n int_0^n e^(-x) * phi(x) text(d) x$]

con $phi in mathcal(D)$ [risp. $phi in mathcal(S)$].

Cominciamo a ragionare in $mathcal(D)^\prime$.

Formalmente:

$lim_n int_0^n e^(-x) * phi(x) text(d) x = int_0^(+oo) e^(-x) * phi(x) text(d) x $

con l'integrale al secondo membro convergente perché $phi$ è a supporto compatto (dunque l'integrando è identicamente nullo per $x > n$ con $n$ "sufficientemente grande"); quindi:

$<< F, phi >> = int_0^(+oo) e^(-x) * phi(x) text(d) x = int_(-oo)^(+oo) e^(-x) * H(x) * phi(x) text(d) x = int_(-oo)^(+oo) g(x) * phi(x) text(d) x = << G, phi >>$,

in cui $G in mathcal(D)^\prime$ è la distribuzione regolare rappresentata da $g$, perciò $F=lim_n F_n=G$ in $mathcal(D)^\prime$.

Vediamo cosa succede in $mathcal(S)^\prime$.

Ovviamente, l'idea è la stessa, cioè si deve passare al limite:

$<< hat(F), phi >> = lim_n int_0^n e^(-x) * phi(x) text(d) x = int_0^(+oo) e^(-x) * phi (x) text(d) x$

per $phi in mathcal(S)$... Ma qui dobbiamo essere un po' più accorti perché $phi$ non è identicamente nulla fuori da un compatto, quindi dobbiamo dimostrare che l'integrale improprio $int_0^(+oo) e^(-x) * phi (x) text(d) x$ è convergente.
Per definizione:

$phi in mathcal(S) <=> phi in C^oo text( e ) AA p,k in NN, EE M=M_(p,k) >= 0:\ AA x in RR, |x^p ("d"^k)/("d" x^k) phi(x) | <= M$,

e da ciò segue che $phi$ è infinitesima all'infinito e, perciò, limitata in $RR$; ne viene che esiste $M >= 0$ (si può prendere $M := "sup" |phi|$):

$|e^(-x) * phi(x)| <= M e^(-x)$

per $x >= 0$ e ciò, per i teoremi del confronto, assicura che $e^(-x) * phi(x)$ è sommabile in $[0,+oo[$ e la convergenza dell'integrale $int_0^(+oo) e^(-x) * phi (x) text(d) x$.
Dunque come prima concludiamo che:

$<< hat(F) , phi >> = << G, phi >>$

ossia che $hat(F)$ coincide con la distribuzione regolare $G$ rappresentata da $g$.

[reggi96]

ok grazie mille, ci ho messo un po' a rispondere perche ho fatto un po di esercizi per esercitarmi con la razio che mi hai spiegato, e per ora sono riuscito a risolverli tutti.

grazie mille per il tempo e la spiegazione