Problema con un integrale improprio

[Mark95]

Salve,
sono uno studente in chimica, quindi non sono molto ferrato in matematica, devo fare l'esame di meccanica quantistica/chimica quantistica e nella risoluzione dell'equazione di Schrödinger per l'oscillatore armonico sono rimasto bloccato su un integrale improprio.

sapendo che in base alla dimostrazione mi trovo:

$xi = sqrt((mu omega)/ħ)x = alpha^(1/2) x$ $rArr$ $x = alpha^(-1/2) xi$ $rArr$ $dx = alpha^(-1/2) d xi$

$Psi_n(xi)=N_nH_n(xi)e^(- (xi^(2))/2)$

$H_n(xi) = (-1)^n e^(xi^(2)) d^n/(d xi^n) e^(-xi^(2))$

(la definizione sopra riportata di polinomi di Hermite $H_n(xi)$ non so come esca fuori, se qualcuno lo sa, sarebbe gradita anche questa spiegazione)

Non riesco a verificare l'ortonormalità della $Psi_n(xi)=N_n H_n(xi) e^(-(xi^2)/2)$.

Cioè, non riesco a svolgere l'integrale:

$int_(-oo)^(oo) Psi_n^star(x)Psi_n(x) dx=1/(alpha^(1/2))int_(-oo)^(oo) Psi_m^star(xi)Psi_n(xi) d xi = 1/(alpha^(1/2))int_(-oo)^(oo) [(N_m H_m(xi) e^(-(xi^2)/2))(N_n H_n(xi) e^(-(xi^2)/2))] d xi =$

$= (N_m N_n)/(alpha^(1/2)) int_(-oo)^(oo) H_m(xi) H_n(xi) e^(-xi^2) d xi = (N_m N_n)/(alpha^(1/2)) root(2)(pi) 2^n n! = delta_(nm)$

con $delta_(nm)={ ( 0 ),( 1 ):} $ con $delta_(nm)=0$ per $n != m$ ; $delta_(nm)=1$ per $n = m$

In realtà, gli appunti che ho dicono semplicemente:

$int_(-oo)^(oo) H_m(xi) H_n(xi) e^(-xi^2) d xi =root(2)(pi) 2^n n! delta_(nm)$

Ma come fa ad essere uguale a $root(2)(pi) 2^n n! delta_(nm)$? Ho provato a svolgerlo per $delta_(nm)=1$, condizione di normalizzazione, seguendo la definizione dei polinomi di Hermite:

$int_(-oo)^(oo) H_n^2(xi) e^(-xi^2) d xi = int_(-oo)^(oo) [((-1)^n e^(xi^(2)) d^n/(d xi^n) e^(-xi^(2)))^2 e^(-xi^2)] d xi = $

$ int_(-oo)^(oo) [(-1)^(2n) (-2 xi)^(2n) e^(-xi^2)] d xi = int_(-oo)^(oo) |2 xi|^(2n) e^(-xi^2) d xi = root(2)(pi) 2^n n!$

Ho pensato di far diventare la funzione integranda così: $|2 xi|^(2n) e^(-xi^2)$ , poiché $(-1)^(2n)=+1$ sempre $AA n in Z $

Provo a svolgerlo per parti:

$int_(-oo)^(oo) |2 xi|^(2n) e^(-xi^2) d xi =2^(2n)int_(-oo)^(oo) xi^(2n) e^(-xi^2) d xi =2^(2n)int_(-oo)^(oo) xi e^(-xi^2) xi^(2n-1) d xi =$
$ = 2^(2n)([(-xi^(2n-1))/2 e^(-xi^2)]_-oo^oo + (2n-1)/2int_(-oo)^(oo) xi^(2n-2) e^(-xi^2) d xi) =2^(2n) (2n-1)/2int_(-oo)^(oo) xi^(2n-2) e^(-xi^2) d xi = 2^(2n-1) (2n-1)int_(-oo)^(oo) xi^(2n-2) e^(-xi^2) d xi = 2^(2n-2) (2n-1)(2n-2)int_(-oo)^(oo) xi^(2n-3) e^(-xi^2) d xi = ... = ?$

so che prima o poi l'integrale da considerare sarà solo:

$int_(-oo)^(oo) e^(-xi^(2)) d xi$

che è uguale a $sqrt(pi)$ perché:

$I = int_(-oo)^(oo) e^(-x^(2)) dx$ ; $I = int_(-oo)^(oo) e^(-y^(2)) dy$

Quindi: $I^2 = int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^(oo) e^(-x^(2)) e^(-y^(2)) dx dy = int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^(oo) e^(-(x^(2)+y^(2))) dx dy$

Ponendo il problema in coordinate polari:

${ ( x=rho cosvartheta ),( y=rho sinvartheta ):} ; 0<=rho<= oo ; 0<= vartheta <= 2pi$

la matrice Jacobiana sarà:

$|J(rho,vartheta)|=| ( (partial x)/(partial rho) , (partial x)/(partial vartheta) ),( (partial y)/(partial rho) , (partial y)/(partial vartheta) ) | =| ( cosvartheta , -rho sinvartheta ),( sinvartheta , rho cosvartheta ) | = rho(cos^2vartheta + sin^2vartheta) = rho$

Allora:

$I^2 = int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^(oo) e^(-(x^(2)+y^(2))) dx dy = int_(0)^(oo) int_(0)^(2pi) |J(rho,vartheta)| e^(-(rho^2(cos^2vartheta + sin^2vartheta))) d rho d vartheta = int_(0)^(oo) int_(0)^(2pi) rho e^(-rho^2) d rho d vartheta $

$I^2 =int_(0)^(oo) rho e^(-rho^2) d rho int_(0)^(2pi) d vartheta = - 1/2[e^(-rho^2)]_0^oo [vartheta]_0^(2pi) = - 1/2 (e^-oo - e^0) (2pi - 0) = - 1/2 (0 - 1) (2pi - 0) = pi$

$I^2 = pi$ $rArr$ $I=sqrt(pi)$ $rArr$ $ int_(-oo)^(oo) e^(-x^(2)) dx = sqrt(pi)$

Ma comunque non riesco a capire come, iterando il processo, si arrivi a $root(2)(pi) 2^n n! $

Premetto che ho solo conoscenze di matematica riferite agli esami di matematica 1 e matematica 2, dato che ci sono solo questi 2 esami di matematica nel mio corso.

[pilloeffe]

Ciao Mark95,

Potresti dare un'occhiata ad esempio qui

[Mark95]

Lei mi deve scusare pilloeffe, non sono molto affine con questa tipologia di calcoli, ma da quanto ho capito, questo integrale dovrebbe venire così?:

$int_(-oo)^(oo) (2 xi)^(2n) e^(-xi^2) dx = 2^(2n)((2n-1)!!)/(2^n) sqrt(pi) =2^(n)(2n-1)!! sqrt(pi)$

Non ho capito molto i passaggi e non so trasportarli nel mio caso specifico.
continuo a non capire perché ottengo questo risultato, che non mi sembra uguale a $sqrt(pi) 2^n n!$.

Le chiedo scusa. Spero possa aiutarmi in qualche altro modo.

[pilloeffe]

"Mark95":Lei mi deve scusare pilloeffe

Non mi dare del lei, che sul forum non si usa e mi fai anche sentire più vecchio di quel che sono...

"Mark95":(la definizione sopra riportata di polinomi di Hermite $H_n(\xi) $ non so come esca fuori, se qualcuno lo sa, sarebbe gradita anche questa spiegazione)

Non è proprio banalissimo, ma si può dimostrare che si ha:
\begin{equation}
\boxed{D^{n}\big(e^{c{\beta}^2}\big) = e^{c{\beta}^2}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\frac{n!}{k!(n - 2k)!}
\:c^{n-k}(2\beta)^{n-2k}}
\label{intGauss:compactderivne^cbetaquadro}
\end{equation}
Considerando la formula (\ref{intGauss:compactderivne^cbetaquadro}) nel caso particolare $c = - 1$ e $\beta \equiv x$, si ha:
\begin{equation*}
\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}\,e^{-x^2} = e^{-x^2}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\frac{n!}{k!(n - 2k)!}
\:(- 1)^{n-k}(2x)^{n-2k}
\label{derivata(n):exp(-x^2)}
\end{equation*}
Isolando la sommatoria che compare al secondo membro di quest'ultima equazione, si ha:
\begin{equation*}
e^{x^2}\,\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}\,e^{-x^2} = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\frac{n!}{k!(n - 2k)!}
\:(- 1)^{n-k}(2x)^{n-2k}
\label{Hn(x):isolamento_sommatoria}
\end{equation*}
Moltiplicando ambedue i membri di quest'ultima equazione per $(- 1)^n$, si ha:
\begin{equation*}
(- 1)^n\,e^{x^2}\,\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}\,e^{-x^2} = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\frac{n!}{k!(n - 2k)!}
\:(- 1)^{2n-k}(2x)^{n-2k}
\label{Hn(x):moltiplicazione_x_(-1)^n}
\end{equation*}
Dato che $(- 1)^{2n} = 1 \quad \AA n \in \ZZ $, si ha:
\begin{equation*}
(- 1)^n\,e^{x^2}\,\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}\,e^{-x^2} = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\:(- 1)^{k}\frac{n!}{k!(n - 2k)!}\:(2x)^{n-2k}
\label{Hn(x):(-1)^2n = 1_per_ogni_n}
\end{equation*}
Il primo membro di quest'ultima equazione non è altro che l'espressione dei polinomi di Hermite mediante la formula di Rodriguez; il secondo membro è l'espressione esplicita dei polinomi di Hermite.
In definitiva si ha:
\begin{equation}
\boxed{H_n(x) = (- 1)^n\,e^{x^2}\,\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}\,e^{-x^2} = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\:(- 1)^{k}\frac{n!}{k!(n - 2k)!}\:(2x)^{n-2k}}
\label{Hn(x):formula_di_Rodriguez+espressione_esplicita}
\end{equation}
Ora, a parte che non mi torna quel modulo che ad un certo punto compare nell'OP, per quanto concerne l'ultimo post che hai scritto (attenzione che la variabile è $\xi $ e poi compare $\text{d}x $ nell'integrale che hai scritto), terrei presente che il fattoriale $n!$ si definisce nel modo seguente:
\begin{equation}
\boxed{n! := \prod_{k=1}^{n} k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n = n \cdot (n - 1)!}
\label{def:n!:=prod_{k=1}^{n} k=n(n-1)!}
\end{equation}
ove per la convenzione del prodotto vuoto si definisce anche $0! = 1$. Per convincersi ulteriormente di quest'ultimo fatto, si può pensare di utilizzare la definizione per $n = 1$ ed osservare che $1 = 1! = 1 \cdot (1-1)! = 1 \cdot 0! = 0!$.
In modo analogo si definisce il semifattoriale $n!!$:
\begin{equation}
\boxed{n!! := n \cdot (n - 2)!!}
\label{def:n!!:=n(n-2)!!}
\end{equation}
ove $0!! = 1!! = 1$. Ad esempio $8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384$ e $9!! = 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 945$.
Sussistono relazioni tra fattoriale e semifattoriale che si possono ricavare facendo uso delle definizioni riportate sopra. Se si riscrive semplicemente la definizione di fattoriale con alcuni altri fattori, si ha:
\begin{equation*}
n! = \prod_{k=1}^{n} k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot (n - 4) \cdot (n - 3) \cdot (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n
\label{def:n!:=prod_{k=1}^{n} k-estesa}
\end{equation*}
Quest'ultima equazione può essere riscritta raggruppando diversamente i fattori nel modo seguente:
\begin{equation*}
n! = \prod_{k=1}^{n} k = n \cdot (n - 2) \cdot (n - 4) \cdot ... \cdot 4 \cdot 2 \cdot (n - 1) \cdot (n - 3) \cdot ... \cdot 3 \cdot 1 = n!! \cdot (n-1)!!
\label{def:n!:=prod_{k=1}^{n} k-estesa-rielaborata}
\end{equation*}
In definitiva si ha:
\begin{equation}
\boxed{n! = n!! \cdot (n - 1)!!}
\label{def:n!=n!!*(n-1)!!}
\end{equation}
Se ora si pone $2k$ al posto di $k$ nella definizione di fattoriale si ha:
\begin{equation}
\prod_{k=1}^{n} 2k = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (2n - 2) \cdot 2n =: (2n)!!
\label{def:prod_{k=1}^{n} 2k=(2n)!!}
\end{equation}
D'altronde, per proprietà facilmente intuibili delle produttorie e per la definizione di fattoriale si ha anche
\begin{equation}
\prod_{k=1}^{n} 2k = 2^n \cdot \prod_{k=1}^{n} k = 2^n \cdot n!
\label{def:prod_{k=1}^{n} 2k=2^n*(n)!}
\end{equation}
Perciò in definitiva si ha:
\begin{equation}
\boxed{2^n \cdot n! = (2n)!!}
\label{def:2^n*n!=(2n)!!}
\end{equation}
Ad esempio possiamo determinare il prodotto seguente:
\begin{equation*}
2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14 \cdot ... \cdot (4n - 2) = \prod_{k=1}^{n} (4k - 2)
\label{ex:2*6*10*14*...*(4n-2)=prod_{k=1}^{n} (4k-2)}
\end{equation*}
Si ha:
\begin{equation*}
\prod_{k=1}^{n} (4k - 2) = \prod_{k=1}^{n} 2 \cdot (2k - 1) = 2^n \cdot \prod_{k=1}^{n} (2k - 1)
\label{ex:prod_{k=1}^{n} (4k-2)=2^n*prod_{k=1}^{n} (2k - 1)}
\end{equation*}
Ma si ha:
\begin{equation}
\prod_{k=1}^{n} (2k - 1) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n - 1) =: (2n - 1)!!
\label{def:prod_{k=1}^{n} (2k-1)=:(2n - 1)!!}
\end{equation}
Perciò si ha:
\begin{equation*}
\prod_{k=1}^{n} (4k - 2) = \prod_{k=1}^{n} 2 \cdot (2k - 1) = 2^n \cdot \prod_{k=1}^{n} (2k - 1) = 2^n \cdot (2n - 1)!!
\label{ex:prod_{k=1}^{n} (4k-2)=2^n*prod_{k=1}^{n} (2k - 1)=2^n*(2n-1)!!}
\end{equation*}
Se ora si fa uso della relazione (\ref{def:n!=n!!*(n-1)!!}) riscritta con $2n$ al posto di $n$, si ha:
\begin{equation*}
(2n)! = (2n)!! \cdot (2n - 1)!! \implies (2n - 1)!! = \dfrac{(2n)!}{(2n)!!}
\label{ex:(2n - 1)!!=(2n)!/(2n)!!}
\end{equation*}
Quindi, per la relazione (\ref{def:2^n*n!=(2n)!!}), si ha:
\begin{equation*}
(2n - 1)!! = \dfrac{(2n)!}{2^n \cdot n!}
\label{ex:(2n - 1)!!=(2n)!/(2^n*n!)!!}
\end{equation*}
In definitiva si ha:
\begin{equation}
\boxed{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14 \cdot ... \cdot (4n - 2) = \prod_{k=1}^{n} (4k - 2) = 2^n \cdot \prod_{k=1}^{n} (2k - 1) = 2^n \cdot (2n - 1)!! = \dfrac{(2n)!}{n!}}
\label{ex:2*6*10*14*...*(4n-2)=prod_{k=1}^{n} (4k-2)=(2n)!/n!}
\end{equation}