Lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto non è uno spazio di Banach
Buonasera,
Ho un esercizio in cui mi si richiede di dimostrare che lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto su $R^n$ non è chiuso in $L^infty (R^n)$ rispetto alla norma dell'estremo superiore essenziale e che, dunque, rispetto a tale norma non è uno spazio di Banach.
Per quanto riguarda la seconda parte è tutto chiaro, ogni sottospazio chiuso di uno spazio di Banach è anch'esso di Banach. Sulla prima parte invece ho dei problemi.
Suppongo vi sia da trovare una successione di funzioni continue e a supporto compatto che converga, rispetto alla norma dell'estremo superiore essenziale, ad una funzione che non ha supporto compatto o che non sia continua, ma aimé zero idee.
Un suggerimento?
Grazie in anticipo
Ho un esercizio in cui mi si richiede di dimostrare che lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto su $R^n$ non è chiuso in $L^infty (R^n)$ rispetto alla norma dell'estremo superiore essenziale e che, dunque, rispetto a tale norma non è uno spazio di Banach.
Per quanto riguarda la seconda parte è tutto chiaro, ogni sottospazio chiuso di uno spazio di Banach è anch'esso di Banach. Sulla prima parte invece ho dei problemi.
Suppongo vi sia da trovare una successione di funzioni continue e a supporto compatto che converga, rispetto alla norma dell'estremo superiore essenziale, ad una funzione che non ha supporto compatto o che non sia continua, ma aimé zero idee.
Un suggerimento?
Grazie in anticipo
Risposte
Ad esempio, se considerassi:
$f_n(x)=1/x + 1/n$ per $x in (0,n)$, allora $Supp(f_n)=[0,n]$ e le $f_n$ sono chiaramente continue nel loro insieme di definizione. Ma, passando al limite, esse convergono a $f(x)=1/x$ che ha supporto $[0,+infty)$.
Può funzionare?
$f_n(x)=1/x + 1/n$ per $x in (0,n)$, allora $Supp(f_n)=[0,n]$ e le $f_n$ sono chiaramente continue nel loro insieme di definizione. Ma, passando al limite, esse convergono a $f(x)=1/x$ che ha supporto $[0,+infty)$.
Può funzionare?
Ragiona in dimensione $1$, in generale è analogo.
Se prendi una successione $(f_n) in C_c(RR)$ convergente ad $f$ in norma, allora $f_n -> f$ uniformemente; ma ciò significa che è possibile scambiare l’ordine dei limiti e perciò $f -> 0$ per $x -> oo$. Quindi la chiusura di $C_c$ in norma $oo$ è lo spazio $C_0(RR)$ delle funzioni continue ed infinitesime all’infinito… Che è giusto giusto un po’ più piccolo di $L^oo$.
Se prendi una successione $(f_n) in C_c(RR)$ convergente ad $f$ in norma, allora $f_n -> f$ uniformemente; ma ciò significa che è possibile scambiare l’ordine dei limiti e perciò $f -> 0$ per $x -> oo$. Quindi la chiusura di $C_c$ in norma $oo$ è lo spazio $C_0(RR)$ delle funzioni continue ed infinitesime all’infinito… Che è giusto giusto un po’ più piccolo di $L^oo$.
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