Serie di Laurent
Buonasera, come esercizio devo sviluppare la seguente funzione in serie di Laurent centrata in $z0 = 2$.
$ f(z)= 1/(z-1)^2 $ .
Lavorando sulla funzione primitiva rispetto a quella data e cercando di ricondurmi alla somma di una serie geometrica ho manipolato la funzione fino a :
$ -1/(1-(-(z-2))) $
Ora so che ho un polo semplice in $z=1$ e quindi nell'intorno del punto in cui mi si chiede di centrare lo sviluppo incontrerei una singolarità. Come devo procedere?
$ f(z)= 1/(z-1)^2 $ .
Lavorando sulla funzione primitiva rispetto a quella data e cercando di ricondurmi alla somma di una serie geometrica ho manipolato la funzione fino a :
$ -1/(1-(-(z-2))) $
Ora so che ho un polo semplice in $z=1$ e quindi nell'intorno del punto in cui mi si chiede di centrare lo sviluppo incontrerei una singolarità. Come devo procedere?
Risposte
Ma nell'intorno di $z=2$ la funzione è olomorfa, non incontri alcuna singolarità
Ciao bio1998,
Ora, a parte che la tua manipolazione è completamente errata, ha ragione Brufus e sarà una normale serie di Taylor:
$1/(w - 1)^2 = \sum_{n = 0}^{+\infty} (1 + n)w^n $
per $|w| < 1 $. Posto $w := 2 - z $ si ha:
$ f(z) = 1/(z - 1)^2 = \sum_{n = 0}^{+\infty} (1 + n)(2 - z)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (1 + n)(z - 2)^n $
per $|z - 2| < 1 $
"bio1998":
Lavorando sulla funzione primitiva rispetto a quella data e cercando di ricondurmi alla somma di una serie geometrica ho manipolato la funzione fino a :
$1/(-1−(−(z−2))$
Ora, a parte che la tua manipolazione è completamente errata, ha ragione Brufus e sarà una normale serie di Taylor:
$1/(w - 1)^2 = \sum_{n = 0}^{+\infty} (1 + n)w^n $
per $|w| < 1 $. Posto $w := 2 - z $ si ha:
$ f(z) = 1/(z - 1)^2 = \sum_{n = 0}^{+\infty} (1 + n)(2 - z)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (1 + n)(z - 2)^n $
per $|z - 2| < 1 $
come mai la manipolazione è errata?
Beh, se non altro dovresti accorgerti che nella funzione $f(z) $ c'è un quadrato al denominatore che nella tua manipolazione non compare... 
Innanzitutto grazie per la risposta precedente.
Il quadrato l'ho fatto sparire integrando la funzione data e manipolando la sua primitiva (l'avevo scritto sopra).
L'idea era di ricondurre la primitiva ad una serie geometrica e poi derivare dopo aver scritto la serie.
Una cosa del tipo :
$ (partial)/(partial k) (sum_(k =0 \)a(k) * (z-z0)^k)= sum_(k = 0 \)a(k) * k * (z-z0)^(k-1) $
scusate ho fatto confusione con i simboli
Il quadrato l'ho fatto sparire integrando la funzione data e manipolando la sua primitiva (l'avevo scritto sopra).
L'idea era di ricondurre la primitiva ad una serie geometrica e poi derivare dopo aver scritto la serie.
Una cosa del tipo :
$ (partial)/(partial k) (sum_(k =0 \)a(k) * (z-z0)^k)= sum_(k = 0 \)a(k) * k * (z-z0)^(k-1) $
scusate ho fatto confusione con i simboli
Innanzitutto grazie per la risposta precedente.
Il quadrato l'ho fatto sparire integrando la funzione data e manipolando la sua primitiva (l'avevo scritto sopra).
L'idea era di ricondurre la primitiva ad una serie geometrica e poi derivare dopo aver scritto la serie.
Una cosa del tipo :
$ (partial)/(partial k) (sum_(k =0 \)a(k) * (z-z0)^k)= sum_(k = 0 \)a(k) * k * (z-z0)^(k-1) $
scusate ho fatto confusione con i simboli
Il quadrato l'ho fatto sparire integrando la funzione data e manipolando la sua primitiva (l'avevo scritto sopra).
L'idea era di ricondurre la primitiva ad una serie geometrica e poi derivare dopo aver scritto la serie.
Una cosa del tipo :
$ (partial)/(partial k) (sum_(k =0 \)a(k) * (z-z0)^k)= sum_(k = 0 \)a(k) * k * (z-z0)^(k-1) $
scusate ho fatto confusione con i simboli
"bio1998":
Innanzitutto grazie per la risposta precedente.
Prego.
Occhio che hai scritto due post identici, magari cancella uno dei due...
"bio1998":
L'idea era di ricondurre la primitiva ad una serie geometrica e poi derivare dopo aver scritto la serie.
La stai facendo un po' troppo complicata...
Basta considerare che per $|w| < 1 $ si ha:
$\sum_{m = 0}^{+\infty} w^m = 1/(1 - w) $
Derivandola si ha:
$\sum_{m = 1}^{+\infty} m w^{m - 1} = 1/(1 - w)^2 $
Posto $m := n + 1 $ e $w := 2 - z $ si ottiene proprio ciò che ti ho già scritto nel mio post precedente:
$ f(z) = 1/(z - 1)^2 = \sum_{n = 0}^{+\infty} (1 + n)(2 - z)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (1 + n)(z - 2)^n $
per $|z - 2| < 1 $
Grazie, anche se non so come si elimina il messaggio dalla discussione.
"bio1998":
Grazie
Prego.
"bio1998":
non so come si elimina il messaggio dalla discussione.
C'è l'icona con la crocetta in alto a destra del messaggio stesso a destra del pulsante * MODIFICA, ma è passato un po' di tempo ed è probabile che non ti compaia più e quindi tu non riesca ad eliminarlo. Magari chiediamo a qualche moderatore se può intervenire.
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