Risoluzione integrale con polinomi di Laguerre
Salve, sono alle prese con lo studio riguardante transizioni fra stati elettronici molecolari in potenziali di Morse cercando di calcolare i Fattori di Franck-Condon in via analitica. Premettendo che non sono del tutto sicuro del risultato a cui sono arrivato volevo chiedervi aiuto per la risoluzione di tale integrale in modo da poter avere una formula facilmente programmabile.
\(\displaystyle \int_0^\infty e^{-(x/2)(1+e^{\beta'd})} x^{(1/2)(a+a')} L^{a}_{n}(x) L^{a'}_{n'}(xe^{\beta'd)} dx\)
dove \(\displaystyle x= C e^{-\beta(r-r_{e})} \) e gli \(\displaystyle L^{a}_{n}(x) \)sono i polinomi di Laguerre generalizzati. Sono arrivato a questo integrale partendo dalle autofunzioni del potenziale di Morse e andando a calcolare l'integrale di sovrapposizione fra due di queste aventi parametri diversi \(\displaystyle a, a', \beta, \beta', n, n', x, x', r_{e}, r_{e}', C, C'\) e sapendo che \(\displaystyle r_{e}- r_{e}'=d\) da cui, effettuando la sostituzione, sono arrivato al risultato di sopra. Ho trovato testi poco chiari che risolvono sfruttando funzione gamma di Eulero e la equazione ipergeometrica confluente (entrambe facilmente programmabili) ma seguono percorsi molto diversi da quello da me intrapreso. Qualsiasi consiglio sulla risoluzione o su strade più percorribili è ben accetto. Grazie in anticipo.
\(\displaystyle \int_0^\infty e^{-(x/2)(1+e^{\beta'd})} x^{(1/2)(a+a')} L^{a}_{n}(x) L^{a'}_{n'}(xe^{\beta'd)} dx\)
dove \(\displaystyle x= C e^{-\beta(r-r_{e})} \) e gli \(\displaystyle L^{a}_{n}(x) \)sono i polinomi di Laguerre generalizzati. Sono arrivato a questo integrale partendo dalle autofunzioni del potenziale di Morse e andando a calcolare l'integrale di sovrapposizione fra due di queste aventi parametri diversi \(\displaystyle a, a', \beta, \beta', n, n', x, x', r_{e}, r_{e}', C, C'\) e sapendo che \(\displaystyle r_{e}- r_{e}'=d\) da cui, effettuando la sostituzione, sono arrivato al risultato di sopra. Ho trovato testi poco chiari che risolvono sfruttando funzione gamma di Eulero e la equazione ipergeometrica confluente (entrambe facilmente programmabili) ma seguono percorsi molto diversi da quello da me intrapreso. Qualsiasi consiglio sulla risoluzione o su strade più percorribili è ben accetto. Grazie in anticipo.
Risposte
Salve, vi chiedo aiuto nella risoluzione di questo integrale:
\(\displaystyle \int_0^\infty e^{-\frac{x}{2}(1+e^{\beta'd})} x^{\frac{1}{2}(a+a')} L^{a}_{n}(x) L^{a'}_{n'}(xe^{\beta'd}) dx \)
con \(\displaystyle L^{a}_{n}(x) \) polinomi di laguerre generalizzati. Un risultato a un integrale simile è stato trovato sfruttando la funzione Gamma e quella ipergeometrica confluente. Grazie in anticipo.
\(\displaystyle \int_0^\infty e^{-\frac{x}{2}(1+e^{\beta'd})} x^{\frac{1}{2}(a+a')} L^{a}_{n}(x) L^{a'}_{n'}(xe^{\beta'd}) dx \)
con \(\displaystyle L^{a}_{n}(x) \) polinomi di laguerre generalizzati. Un risultato a un integrale simile è stato trovato sfruttando la funzione Gamma e quella ipergeometrica confluente. Grazie in anticipo.
Ciao Gabriele Pagnanelli,
Se non ho visto male data l'ora, ci si può ricondurre all'integrale dell'equazione (3.2) qui.
Se non ho visto male data l'ora, ci si può ricondurre all'integrale dell'equazione (3.2) qui.
Si penso sia perfetta per il mio caso. Giusto per conferma la F2 nella (3.2) sarebbe la funzione di Appell giusto?
Sì. C'è scritto in alto alla stessa pagina 26 dove compare l'equazione (3.2): Appell's function $F_2 $ [8, p. 53]
Grazie mille mi ha salvato!
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