Equazione differenziale primo ordine
Buongiorno mi sono imbattuto nel seguente problema che non so come risolvere:
Si consideri l'equazione differenziale A= Bf'(x)+Cf(x) dove A,B e C sono costanti positive supposte note.
Dimostrare che una funzione del tipo y=f(x)= $\alpha$ (1- $(e^x$\beta$)$) con $\alpha$ e $\beta$ appartenenti a R può essere soluzione dell'equazione precedente e stabilisci come i coefficienti $\alpha$ e $\beta$ devono dipendere dai parametri noti A, B e C.
Io ho pensato di sostituire la funzione fornita e la sua derivata all'interno dell'equazione differenziale data. fatto questo però non ho idea di come andare avanti e di cosa dovrei cercare.
Si consideri l'equazione differenziale A= Bf'(x)+Cf(x) dove A,B e C sono costanti positive supposte note.
Dimostrare che una funzione del tipo y=f(x)= $\alpha$ (1- $(e^x$\beta$)$) con $\alpha$ e $\beta$ appartenenti a R può essere soluzione dell'equazione precedente e stabilisci come i coefficienti $\alpha$ e $\beta$ devono dipendere dai parametri noti A, B e C.
Io ho pensato di sostituire la funzione fornita e la sua derivata all'interno dell'equazione differenziale data. fatto questo però non ho idea di come andare avanti e di cosa dovrei cercare.
Risposte
Ciao aloe,
Cerca di scrivere un po' meglio sfruttando la guida per scrivere le formule che puoi trovare qui.
Provo ad interpretare, poi magari mi confermi se ho interpretato correttamente oppure no...
Data l'equazione differenziale $A = B f'(x)+C f(x) $ dove $A$, $B $ e $C$ sono costanti positive supposte note, dimostrare che una funzione del tipo $y = f(x) = \alpha (1 - e^{\beta x}) $ con $\alpha \in \RR $ e $\beta \in \RR $ può essere soluzione dell'equazione precedente e stabilisci come i coefficienti $\alpha $ e $\beta $ devono dipendere dai parametri noti $A$, $B$ e $C$.
Comunque secondo me c'è un errore nel testo che hai riportato nell'OP, infatti manca la costante di integrazione; il testo corretto secondo me è il seguente:
Data l'equazione differenziale $A = B f'(x)+C f(x) $ dove $A$, $B $ e $C$ sono costanti positive supposte note, dimostrare che una funzione del tipo $y = f(x) = \alpha (1 - c e^{\beta x}) $ con $\alpha \in \RR $ e $\beta \in \RR $ può essere soluzione dell'equazione precedente e stabilisci come i coefficienti $\alpha $ e $\beta $ devono dipendere dai parametri noti $A$, $B$ e $C$.
Risolverei semplicemente l'equazione, che è a variabili separabili:
$ (f'(x))/((A - C f(x))/B) = 1 $
$ - B/C ln[A - C f(x)] = x + k $
$ ln[A - C f(x)] = - C/B x - k C/B $
$ A - C f(x) = exp(- C/B x - k C/B) $
$ f(x) = A/C - 1/C exp( - k C/B) exp(- C/B x) $
Posto $ 1/C exp( - k C/B) := c A/C > 0 $ si può scrivere:
$ f(x) = A/C - c A/C e^{- C/B x} = A/C (1 - c e^{- C/B x} ) $
Quindi la soluzione può essere scritta nella forma richiesta $ y = f(x) = \alpha (1 - c e^{\beta x}) $ semplicemente ponendo $\alpha := A/C > 0 $ e $\beta := - C/B < 0 $
Cerca di scrivere un po' meglio sfruttando la guida per scrivere le formule che puoi trovare qui.
Provo ad interpretare, poi magari mi confermi se ho interpretato correttamente oppure no...
Data l'equazione differenziale $A = B f'(x)+C f(x) $ dove $A$, $B $ e $C$ sono costanti positive supposte note, dimostrare che una funzione del tipo $y = f(x) = \alpha (1 - e^{\beta x}) $ con $\alpha \in \RR $ e $\beta \in \RR $ può essere soluzione dell'equazione precedente e stabilisci come i coefficienti $\alpha $ e $\beta $ devono dipendere dai parametri noti $A$, $B$ e $C$.
Comunque secondo me c'è un errore nel testo che hai riportato nell'OP, infatti manca la costante di integrazione; il testo corretto secondo me è il seguente:
Data l'equazione differenziale $A = B f'(x)+C f(x) $ dove $A$, $B $ e $C$ sono costanti positive supposte note, dimostrare che una funzione del tipo $y = f(x) = \alpha (1 - c e^{\beta x}) $ con $\alpha \in \RR $ e $\beta \in \RR $ può essere soluzione dell'equazione precedente e stabilisci come i coefficienti $\alpha $ e $\beta $ devono dipendere dai parametri noti $A$, $B$ e $C$.
"aloe":
Io ho pensato di sostituire la funzione fornita e la sua derivata all'interno dell'equazione differenziale data.
Risolverei semplicemente l'equazione, che è a variabili separabili:
$ (f'(x))/((A - C f(x))/B) = 1 $
$ - B/C ln[A - C f(x)] = x + k $
$ ln[A - C f(x)] = - C/B x - k C/B $
$ A - C f(x) = exp(- C/B x - k C/B) $
$ f(x) = A/C - 1/C exp( - k C/B) exp(- C/B x) $
Posto $ 1/C exp( - k C/B) := c A/C > 0 $ si può scrivere:
$ f(x) = A/C - c A/C e^{- C/B x} = A/C (1 - c e^{- C/B x} ) $
Quindi la soluzione può essere scritta nella forma richiesta $ y = f(x) = \alpha (1 - c e^{\beta x}) $ semplicemente ponendo $\alpha := A/C > 0 $ e $\beta := - C/B < 0 $
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