Problema sul principio di induzione
Dato: $u_n=\int_{n}^{n+1}f(t)\ "d"t$
dimostrare con il principio di induzione che:
$f(n+1)<=u_n<=f(n)$ per ogni naturale $n$
Ho provato a scrivere:
1) $n=0$; $u_0=\int_{0}^{1}f(t)dt$ $f(1)<=u_0<=f(0)$
2) se vera $f(n+1)<=u_n<=f(n)$ allora è vera $f(n+2)<=u_{n+1}<=f(n+1)$
Qualcuno sa aiutarmi nello sviluppo di 1) e 2)?
Grazie 1000
dimostrare con il principio di induzione che:
$f(n+1)<=u_n<=f(n)$ per ogni naturale $n$
Ho provato a scrivere:
1) $n=0$; $u_0=\int_{0}^{1}f(t)dt$ $f(1)<=u_0<=f(0)$
2) se vera $f(n+1)<=u_n<=f(n)$ allora è vera $f(n+2)<=u_{n+1}<=f(n+1)$
Qualcuno sa aiutarmi nello sviluppo di 1) e 2)?
Grazie 1000
Risposte
Vuoi dimostrare una cosa falsa.
In realtà ho visto con qualche esempio che la relazione è vera per funzioni integrande decrescenti e invece è esattamente al contrario per funzioni strettamente crescenti.
"alphasierra":
In realtà ho visto con qualche esempio che la relazione è vera per funzioni integrande decrescenti e invece è esattamente al contrario per funzioni strettamente crescenti.
E l'ipotesi di monotonia dov'è scritta?
Cosa succede se $f(t) := sin(pi t)$?
Infatti hai proprio ragione. Bah... come si può dare un quesito del genere, proprio non capisco.
Beh, se non lo sai tu che l'hai posto...
Aplhasierra, probabilmente nel testo del problema si ipotizzava che $f$ fosse monotona decrescente. Dove hai preso l'esercizio?
Me lo hanno proposto, ma non so sinceramente la fonte.
In ogni caso, considerando la funzione monotona decrescente, come si potrebbe, utilizzando l'induzione arrivare alla dimostrazione?
Grazie 1000
In ogni caso, considerando la funzione monotona decrescente, come si potrebbe, utilizzando l'induzione arrivare alla dimostrazione?
Grazie 1000
Hai provato integrando per sostituzione? $s=t-1$.
"Martino":
Hai provato integrando per sostituzione? $s=t-1$.
E quale vantaggio otterrei???
Io avevo pensato di usare il teorema della media integrale, ma non arrivo a qualcosa di immediato ...
Ti dò un suggerimento: prova per sostituzione come ti ho indicato. Hai provato?
Ascolta se lo faccio ottengo:
u_n=\int_{n-1}^{n} f(s+1) \, ds
e poi???
u_n=\int_{n-1}^{n} f(s+1) \, ds
e poi???
Intervengo soltanto per notare che il principio di induzione qui non serve a nulla.
Infatti, quella proprietà lì, fermo restando il fatto che $f$ deve essere monotona decrescente in $[0,+oo[$, vale per ogni $a >= 0$ (anziché per ogni $n in NN$): difatti, visto che per monotonia:
$a <= x <= a + 1\ =>\ f(a+1) <= f(x) <= f(a)$
integrando su $[a,a+1]$ i tre membri della catena di disuguaglianze a secondo membro si ottiene:
$f(a+1) = int_a^(a+1) f(a+1)\ "d" x <= int_a^(a+1) f(x)\ "d"x <= int_a^(a+1) f(a)\ "d"x = f(a)$.
In particolare, scrivendo tutto per $a=n in NN$ si trova quello che si doveva dimostrare, cioè $f(n+1) <= u_n <= f(n)$.
Infatti, quella proprietà lì, fermo restando il fatto che $f$ deve essere monotona decrescente in $[0,+oo[$, vale per ogni $a >= 0$ (anziché per ogni $n in NN$): difatti, visto che per monotonia:
$a <= x <= a + 1\ =>\ f(a+1) <= f(x) <= f(a)$
integrando su $[a,a+1]$ i tre membri della catena di disuguaglianze a secondo membro si ottiene:
$f(a+1) = int_a^(a+1) f(a+1)\ "d" x <= int_a^(a+1) f(x)\ "d"x <= int_a^(a+1) f(a)\ "d"x = f(a)$.
In particolare, scrivendo tutto per $a=n in NN$ si trova quello che si doveva dimostrare, cioè $f(n+1) <= u_n <= f(n)$.
La mia interpretazione è che si tratti di un esercizio in cui si richiede esplicitamente di usare il principio di induzione (anche se come ha osservato gugo, non è assolutamente necessario). Osserva che sei stato tu, alphasierra, a proporre come quesito una dimostrazione per induzione, qui non sto discutendo come dimostrare quello che proponi, discuto di come si può dimostrare usando l'induzione.
L'enunciato è: per ogni $n in NN$ si ha che:
(*) per ogni $f:RR to RR$ monotona decrescente, definendo $u_n(f)=int_{n}^{n+1} f(t)dt$, si ha $f(n+1) le u_n(f) le f(n)$.
Dimostrazione per induzione. Sia $f:RR to RR$ monotona decrescente. Abbiamo $f(1) le u_0(f) le f(0)$ perché quando $0 le x le 1$ abbiamo $f(1) le f(x) le f(0)$ e quindi integrando $f(1) = int_0^1 f(1) le int_0^1 f(x) le int_0^1 f(0) = f(0)$.
Agora supponiamo che (*) sia vera per $n in NN$ e mostriamo che vale per $n+1$.
Dobbiamo mostrare che $f(n+2) le u_{n+1}(f) le f(n+1)$. Facendo la sostituzione $s=t-1$ abbiamo
$u_{n+1}(f) = int_{n+1}^{n+2} f(t) dt = int_{n}^{n+1} f(s+1)ds = u_n(g)$
dove $g:RR to RR$ è la funzione definita da $g(s) := f(s+1)$.
Siccome $f$ è monotona decrescente, è ovvio che anche $g$ è monotona decrescente. Quindi usando l'ipotesi induttiva (cioè (*)) applicata alla funzione $g$ abbiamo che $g(n+1) le u_n(g) le g(n)$. Ma
$g(n+1)=f(n+2)$,
$g(n)=f(n+1)$,
$u_n(g) = u_{n+1}(f)$
quindi otteniamo proprio che
$f(n+2) le u_{n+1}(f) le f(n+1)$,
che è quello che volevamo dimostrare. []
---
Sul fatto che tutto questo sia inutilmente complicato, sono assolutamente d'accordo (vedi la dimostrazione di gugo), ma l'esercizio richiedeva di usare l'induzione!
L'enunciato è: per ogni $n in NN$ si ha che:
(*) per ogni $f:RR to RR$ monotona decrescente, definendo $u_n(f)=int_{n}^{n+1} f(t)dt$, si ha $f(n+1) le u_n(f) le f(n)$.
Dimostrazione per induzione. Sia $f:RR to RR$ monotona decrescente. Abbiamo $f(1) le u_0(f) le f(0)$ perché quando $0 le x le 1$ abbiamo $f(1) le f(x) le f(0)$ e quindi integrando $f(1) = int_0^1 f(1) le int_0^1 f(x) le int_0^1 f(0) = f(0)$.
Agora supponiamo che (*) sia vera per $n in NN$ e mostriamo che vale per $n+1$.
Dobbiamo mostrare che $f(n+2) le u_{n+1}(f) le f(n+1)$. Facendo la sostituzione $s=t-1$ abbiamo
$u_{n+1}(f) = int_{n+1}^{n+2} f(t) dt = int_{n}^{n+1} f(s+1)ds = u_n(g)$
dove $g:RR to RR$ è la funzione definita da $g(s) := f(s+1)$.
Siccome $f$ è monotona decrescente, è ovvio che anche $g$ è monotona decrescente. Quindi usando l'ipotesi induttiva (cioè (*)) applicata alla funzione $g$ abbiamo che $g(n+1) le u_n(g) le g(n)$. Ma
$g(n+1)=f(n+2)$,
$g(n)=f(n+1)$,
$u_n(g) = u_{n+1}(f)$
quindi otteniamo proprio che
$f(n+2) le u_{n+1}(f) le f(n+1)$,
che è quello che volevamo dimostrare. []
---
Sul fatto che tutto questo sia inutilmente complicato, sono assolutamente d'accordo (vedi la dimostrazione di gugo), ma l'esercizio richiedeva di usare l'induzione!
Sei davvero grande.
Grazie 1000
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