Teorema del Dini (Funzioni implicite)

[fahrenheit1]

Ripassando il teorema del Dini ho notato un passaggio che non mi tornava nella dimostrazione di
\[g'(x)=-\frac{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(x))}\]
La dimostrazione per questa equazione data dal professore è:
"Dimostriamo che se g esiste ed è derivabile allora vale la formula per la derivata (quella indicata sopra).
Sappiamo che f(x,g(x))=0, quindi la sua derivata è identicamente 0, ma questa è
\[f_x(x,g(x))+f_y(x,g(x))\cdot g'(x)=0\]
ottenendo quindi
\[g'(x)=-\frac{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(x))}\]
è possibile dividere per $f_y(x_0,y_0)$ perché diverso da 0 "
le ipotesi erano
\[f:R^2\to R\:\in\:C^1\]
\[f(x_0,y_0)=0\]
\[\nabla f(x_0,y_0)\neq(0,0)\]
supponiamo $f_y(x_0,y_0)\neq 0$.
Quello che non mi torna è "f(x,g(x))=0, quindi la sua derivata è identicamente 0".

[pilloeffe]

Ciao fahrenheit,

Beh, una funzione implicita è definita così: $f(x, y) = 0 $
Ad esempio la funzione implicita $f(x, y) = x^2 - y = 0 $ definisce implicitamente la funzione $y = g(x) = x^2 $
Derivando entrambi i membri si ha proprio:

$ f_x(x,g(x))+f_y(x,g(x))\cdot g'(x)=0 $