Definizione di funzione limitata
Avrei un dubbio su una questione forse poco importante, che mi è sorta studiando l'integrale di Riemann, per dare la definizione di funzione integrabile si parte da una funzione f def \( f:[a, b]\longmapsto\mathbb{R} \) limitata. Ora se una funzione va in R per forza è limitata perchè R non contiene i simboli di infinito quindi dire che è limitata è ridondante a parer mio. Infatti anche la funzione \( \frac{1}{x} \) è definita solitamente in \( (0, +\infty ) \)
Risposte
Ciao!
No, ti sbagli, non c'entrano i simboli di $\infty$ e $-\infty$ o il fatto che il codominio sia $\mathbb{R}$.
La definizione di funzione illimitata si ottiene negando quella di funzione limitata, quindi $f$ è illimitata in un certo insieme $A$ se per ogni $M \in \mathbb{R}$ esiste $x_M \in A$ tale che $f(x_M) > M$.
Ad esempio, la funzione $\frac{1}{x}$ con dominio $(0,\infty)$ che hai proposto è illimitata: il motivo è che la disequazione $\frac{1}{x} > M$ è equivalente (assumendo $M>0$, se $M \le 0$ la disequazione è immediatamente vera dato che essendo $x>0$ è $1/x>0$) alla disequazione $0 < x_M < \frac{1}{M}$. Questo ci dice che, fissata una qualsiasi costante $M \in \mathbb{R}$, ogni numero $x_M \in \left(0,\frac{1}{M}\right)$ fa sì che la funzione $\frac{1}{x}$ la superi; ossia $\frac{1}{x}$ è illimitata. Tutto ciò senza considerare i simboli $\infty$ e $-\infty$, che appunto sono simboli e non numeri reali.
Anche considerando l'intervallo chiuso e limitato per $\frac{1}{x}$ (contestualizzando meglio verso la tua domanda, che viene dalla teoria sull'integrale secondo Riemann), ad esempio $[0,1]$, il discorso non cambia perché puoi ridefinire $\frac{1}{x}$ ponendo
$$g(x)=\begin{cases} \frac{1}{x}, \ \text{se} \ 0 < x \le 1 \\ 58578342, \ \text{se} \ x=0\end{cases}$$
E comunque la definizione di illimitatezza risulta verificata nella stessa identica maniera di prima.
"Cannone Speciale":
Ora se una funzione va in R per forza è limitata perchè R non contiene i simboli di infinito quindi dire che è limitata è ridondante a parer mio.
No, ti sbagli, non c'entrano i simboli di $\infty$ e $-\infty$ o il fatto che il codominio sia $\mathbb{R}$.
La definizione di funzione illimitata si ottiene negando quella di funzione limitata, quindi $f$ è illimitata in un certo insieme $A$ se per ogni $M \in \mathbb{R}$ esiste $x_M \in A$ tale che $f(x_M) > M$.
Ad esempio, la funzione $\frac{1}{x}$ con dominio $(0,\infty)$ che hai proposto è illimitata: il motivo è che la disequazione $\frac{1}{x} > M$ è equivalente (assumendo $M>0$, se $M \le 0$ la disequazione è immediatamente vera dato che essendo $x>0$ è $1/x>0$) alla disequazione $0 < x_M < \frac{1}{M}$. Questo ci dice che, fissata una qualsiasi costante $M \in \mathbb{R}$, ogni numero $x_M \in \left(0,\frac{1}{M}\right)$ fa sì che la funzione $\frac{1}{x}$ la superi; ossia $\frac{1}{x}$ è illimitata. Tutto ciò senza considerare i simboli $\infty$ e $-\infty$, che appunto sono simboli e non numeri reali.
Anche considerando l'intervallo chiuso e limitato per $\frac{1}{x}$ (contestualizzando meglio verso la tua domanda, che viene dalla teoria sull'integrale secondo Riemann), ad esempio $[0,1]$, il discorso non cambia perché puoi ridefinire $\frac{1}{x}$ ponendo
$$g(x)=\begin{cases} \frac{1}{x}, \ \text{se} \ 0 < x \le 1 \\ 58578342, \ \text{se} \ x=0\end{cases}$$
E comunque la definizione di illimitatezza risulta verificata nella stessa identica maniera di prima.
"Mephlip":
$$g(x)=\begin{cases} \frac{1}{x}, \ \text{se} \ 0 < x \le 1 \\ 58578342, \ \text{se} \ x=0\end{cases}$$
Appunto.
Il problema è che anche giunti all'università si fatica a comprendere che una funzione non è una "unica e bella formula" (come credeva Eulero nel 1700)... In questo modo, si rimane all'approccio naive di 300 anni fa e non si comprendono i problemi di base che hanno fatto nascere l'Analisi dal Calcolo.
Perché nella teoria di Riemann è richiesto che una funzione definita in un compatto sia limitata? Perché non è automatico che lo sia (esercizio: costruire controesempi).
Perché nella costruzione delle somme integrali superiori ed inferiori si usano $"sup"$ ed $"inf"$ e non $max$ e $min$? Perché non è automatico che $max$ e $min$ esistano, nemmeno per funzioni limitate in un compatto (esercizio: costruire controesempi)
Perché c'è bisogno di specificare "e derivabile" negli enunciati dei teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, etc...? Perché non è automatico che una funzione continua lo sia (esercizio: costruire controesempi)
Perché c'è bisogno di specificare "e derivabile" negli enunciati sulla retta tangente al grafico di una funzione convessa? Perché non è detto che una funzione convessa abbia retta tangente (esercizio: costruire controesempi)
And so on...
Grazie mille a entrambi, il controesempio è stato chiarificatore
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