Studio di una serie di potenze

[mauri54]

Ciao a tutti, avrei bisogno di qualche chiarimento sul seguente esercizio sulle serie. Ho scritto tutto quello che ho fatto (nello spoiler) tenendo in evidenza i punti su cui avrei delle domande. Se avete potete e avete voglia vi chiederei un giudizio generale su tutto l'esercizio ma, principalmente, avrei un dubbio nel punto c) e un dubbio più grossi nel punto e). Vi ringrazio!

Es. Sia $f$ la funzione definita da \( f(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^n}{n\log{n}} \)

a) Determinare il dominio di $f$
b) Provare che $f$ è continua.
c) Determinare l'insieme dei punti di $Dom(f)$ in cui $f$ è derivabile.
d) Provare che $f$ ammette limite per \( x\rightarrow 1^- \).
e) Calcolare \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^-} f(x) \)
f) Studiare segno, monotonia, convessità, estremi relativi ed assoluti, flessi ed asintoti di $f$.

Svolgimento

a) E' una serie di potenze e posso determinare il raggio di convergenza nel seguente modo
\( \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{n\log{n}}{(n+1)\log{(n+1)}}=\cdots=1 \)
Allora, considerando l'inverso del limite, \( \rho=1 \).
L'intervallo di convergenza risulta \( (x_0-\rho,x_0+\rho)=(0-1,0+1)=(-1,1) \)
L'insieme di convergenza puntuale è \( P=[-1,1) \) poiché la serie converge per il criterio di Leibniz in \( x=-1 \) mentre diverge in \( x=1 \) poiché, per il criterio integrale, \( \displaystyle\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\log{x}}dx=+\infty \).

b) Per un corollario al teorema di Abel si ha che ogni limite puntuale di una serie di potenze con raggio di convergenza finito è continua in tutto l'insieme di convergenza puntuale, in tal caso $P=[-1,1)$.

c) Ho un risultato che afferma che data una serie di potenze con raggio di convergenza finito, allora la serie è derivabile nell'intervallo di convergenza (in questo caso $I=(-1,1)$) e che \( f'(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n}{n\log{n}}x^{n-1} \)
domanda: Come faccio ad avere la derivabilità destra in $x=-1$?

d) Per ogni \( x\in(0,+\infty)\cap[-1,1)=(0,1) \) si ha che \( f'(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n}{n\log{n}}x^{n-1}=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{\log{n}}x^{n-1}\geq0 \) allora $f$ strett. crescente in $(0,1)$, quindi esiste il \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^-} f(x) \).

e) Poiché \( f(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^n}{n\log{n}} \) , allora per ogni \( x\in[0,+\infty)\cap[-1,1)=[0,1) \) e per ogni $N\in\mathbb{N}_{\geq2}$
\( f(x)\geq\displaystyle\sum_{n=2}^{N}\frac{x^n}{n\log{n}} \) allora, passando al limite, \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)\geq\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^-}\displaystyle\sum_{n=2}^{N}\frac{x^n}{n\log{n}}=\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n\log{n}} \), da cui \( f(x)=\displaystyle\lim_{N\rightarrow +\infty} f(x)\geq\displaystyle\lim_{N\rightarrow +\infty}\displaystyle\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n\log{n}}=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n\log{n}}=+\infty \)

Quindi \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)=+\infty \).

f) Il segno è positivo in $(0,1)$ perché per ogni $x\in(0,1)$ ho una serie numerica convergente a termini positivi. Ma per $x\in[-1,0)$ la serie numerica è a segni alterni
Per il punto c) so che $f$ è strettamente crescente in $(0,1)$ ma in $[-1,0)$? Idem per la derivata seconda ...

[pilloeffe]

Ciao mauri54,

Beh, la serie proposta è la seguente:

$f(x) = \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^n}{n \log n} $

Essa converge per $- 1 <= x < 1 $
Poi hai scritto che è continua, quindi per la definizione di continuità $\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) $: non mi è chiaro pertanto a cosa serva tutto quanto hai scritto nel punto e).
Derivando si ha:

$ f'(x)= \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n}{n\log n}x^{n-1} = \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{\log n}x^{n-1} $

Essa converge come $f(x) $ per $- 1 <= x < 1 $ ed è continua perché vale lo stesso discorso che hai già fatto per $f(x) $, quindi per la definizione di continuità $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = f'(1) $
Poi per il punto f) è vero che la serie è a segni alterni, ma la successione delle somme parziali si mantiene sempre positiva e ad esempio nel caso in cui $x = - 1 $ converge ad un valore vicino a $1/2$; invece la successione delle somme parziali della serie derivata si mantiene sempre negativa e ad esempio nel caso in cui $x = - 1 $ converge ad un valore negativo vicino a $- 1$.

[mauri54]

Ciao pilloeffe. Grazie della risposta.

"pilloeffe":
Poi hai scritto che è continua, quindi per la definizione di continuità $\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) $: non mi è chiaro pertanto a cosa serva tutto quanto hai scritto nel punto e).

La funzione $f$ non è definita in $x=1$, quindi non posso calcolare $f(1)$. Per farne il limite devo scambiare il limite con la serie.

"pilloeffe":
Poi per il punto f) è vero che la serie è a segni alterni, ma la successione delle somme parziali si mantiene sempre positiva e ad esempio nel caso in cui $ x = - 1 $ converge ad un valore vicino a $ 1/2 $; invece la successione delle somme parziali della serie derivata si mantiene sempre negativa e ad esempio nel caso in cui $ x = - 1 $ converge ad un valore negativo vicino a $ - 1 $.

Scusami ma non ho capito come dovrei procedere. Puoi mica rispiegarmelo?

[pilloeffe]

"mauri54":La funzione $f$ non è definita in $x=1$, quindi non posso calcolare $f(1)$.

D'accordo, ma siccome la funzione è definita tramite una serie di potenze e la serie di potenze è positivamente divergente in $x = 1 $, in pratica si definisce $f(1) $ come il risultato del $ \lim_{x \to 1^-} f(x) $ per cui che cos'è $x = 1 $ per la funzione proposta?

Uno schema utile sulla convergenza di una serie di potenze puoi trovarlo ad esempio qui.

[mauri54]

"pilloeffe":
D'accordo, ma siccome la funzione è definita tramite una serie di potenze e la serie di potenze è positivamente divergente in $x = 1 $, in pratica si definisce $f(1) $ come il risultato del $ \lim_{x \to 1^-} f(x) $ per cui che cos'è $x = 1 $ per la funzione proposta?

Dal mio precedente intervento si ha $x=1$ è un asintoto verticale della funzione $f$ poiché \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)=+\infty \)

Non riesco a capire come determinare il segno di $f$ in $[-1,0)$. In tal caso sarebbe una serie a segni alterni perché per ogni $x\in[-1,0)$ la serie diventa \( \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^n}{n\log{n}}=\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n\frac{|x|^n}{n\log{n}} \).
Tale serie si può derivare e ottenere \( f'(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{\log{n}}=\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n\frac{|x|^{n-1}}{\log{n}} \)
C'è qualche risultato che mi dica il segno di $f'$ nell'intervallo $[-1,0)$?

[pilloeffe]

"mauri54":Dal mio precedente intervento si ha $x=1$ è un asintoto verticale della funzione $f$ poiché $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty $

Esatto.

"mauri54":Non riesco a capire come determinare il segno di $f$ in $[−1,0)$. In tal caso sarebbe una serie a segni alterni [...]

Si ha:

$ f(x) = \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^n}{n log n} = \sum_{n=2}^{N}\frac{x^n}{n log n} + \sum_{n=N + 1}^{+\infty}\frac{x^n}{n log n} = S_N(x) + R_N(x) $

Prova a scrivere qualche termine della $S_N(x) $ di cui sopra per $- 1 \le x < 0 $, ad esempio per $ x = - 1 $ (cioè $S_N(-1) $): dovresti riuscire ad accorgerti che anche se la serie è effettivamente a segni alterni, $f(x) $ si mantiene sempre positiva e converge ad un valore nei pressi di $ 1/2 $

Per la convergenza assoluta si può anche osservare che si ha:

$ \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{|x|^n}{n log n} = x^2/(2 log 2) + \sum_{n=3}^{+\infty}\frac{|x|^n}{n log n} \le $
$ \le x^2/(2 log 2) + \sum_{n=3}^{+\infty}\frac{|x|^n}{n} = x^2/(2 log 2) - x^2/2 - |x| - log(1 - |x|) = x^2/2 (1/log2 - 1) - |x| - log(1 - |x|) $

per $|x| < 1 $. Notare che il coefficiente di $x^2$ è positivo in quanto $ log 2 < 1 \implies 1/log 2 > 1 \implies 1/log 2 - 1 > 0$