Convergenza serie numerica
Buongiorno, dovrei verificare la convergenza delle due seguenti serie:
1)
$ sum_(n=1)^(+ oo)log(n!)/(n^4) $
La presenza del fattoriale mi ha fatto pensare all'uso del criterio del rapporto:
$ a_(n+1)=log((n+1)!)/(n+1)^4=log((n+1)n!)/(n+1)^4=(log(n+1)+log(n!))/(n+1)^4 $
Ma direi che non mi porta da nessuna parte
Consigli?
2)
$ sum_(n=1)^(+ oo)1/(nroot(n)(n) $
Ho pensato intanto di riscriverla così:
$ sum_(n=1)^(+ oo)1/(n^((n+1)/n) $
Però non mie viene in mente nulla
Questa seconda dovrebbe essere divergente. La condizione necessaria di convergenza mi risulta comunque verificata.
1)
$ sum_(n=1)^(+ oo)log(n!)/(n^4) $
La presenza del fattoriale mi ha fatto pensare all'uso del criterio del rapporto:
$ a_(n+1)=log((n+1)!)/(n+1)^4=log((n+1)n!)/(n+1)^4=(log(n+1)+log(n!))/(n+1)^4 $
Ma direi che non mi porta da nessuna parte
Consigli?
2)
$ sum_(n=1)^(+ oo)1/(nroot(n)(n) $
Ho pensato intanto di riscriverla così:
$ sum_(n=1)^(+ oo)1/(n^((n+1)/n) $
Però non mie viene in mente nulla
Questa seconda dovrebbe essere divergente. La condizione necessaria di convergenza mi risulta comunque verificata.
Risposte
Ciao! Occhio che nel punto (1), quando dici di applicare il criterio del rapporto, in generale devi calcolare $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$, hai scritto solo il numeratore. Comunque:
(1) dimostra per induzione che per ogni $n\in\mathbb{N}$ è $n! \le n^n$. Dunque, per crescente monotonia del logaritmo, è $\log(n!) \le \log(n^n)=n \log n$. Riesci a concludere da qui?
(1) dimostra per induzione che per ogni $n\in\mathbb{N}$ è $n! \le n^n$. Dunque, per crescente monotonia del logaritmo, è $\log(n!) \le \log(n^n)=n \log n$. Riesci a concludere da qui?
Si, ad occhio poi avevo visto che comunque facendo il rapporto non concludevo nulla perchè non riuscivo a semplificare nulla 
Direi che se ottengo:
$ (nlogn)/n^4=logn/n^3 $
Si ha che definitivamente $ logn
da un certo valore di $ n0 $ : $ logn/(n^(1/3))<1 $
quindi:
$ logn/n^(3)
La serie $ sum_(n = 1) ^(+oo)1/n^(8/3) $ è una serie armonica generalizzata con $ alpha >1 $ quindi converge.
Giusto?
Direi che se ottengo:
$ (nlogn)/n^4=logn/n^3 $
Si ha che definitivamente $ logn
da un certo valore di $ n0 $ : $ logn/(n^(1/3))<1 $
quindi:
$ logn/n^(3)
La serie $ sum_(n = 1) ^(+oo)1/n^(8/3) $ è una serie armonica generalizzata con $ alpha >1 $ quindi converge.
Giusto?
Va bene, sì. Anche se basta dire $\log n < n$ definitivamente. Per il punto (2), se ancora non ti ha aiutato un altro utente ti do una mano appena ho un po' più di tempo.
Ah ok!!
Per il punto 2) ancora sono in alto mare! Grazie mille
Per il punto 2) ancora sono in alto mare! Grazie mille
Per (2): hai studiato il criterio del confronto asintotico? Se sì, osserva che $\root[n]{n}=n^{1/n} \to 1$ per $n \to \infty$, quindi...
Se non l'hai studiato, dimostra per induzione che per ogni $n \in \mathbb{N}$ è $n < 2^n$; quindi per ogni $n \ge 1$ è $n^{1/n} < 2$.
Se non l'hai studiato, dimostra per induzione che per ogni $n \in \mathbb{N}$ è $n < 2^n$; quindi per ogni $n \ge 1$ è $n^{1/n} < 2$.
Sisi l'ho studiato. Giusto!! Non mi ero fermata a pensare che tendeva a 1 quello! A quel punto per forza diverge positivamente.
Grazie mille!!
Grazie mille!!
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