Calcolo della derivata inversa in un punto
Ciao a tutti avrei bisogno di un aiuto ad affrontare questo esercizio. Data la funzione $f(x)=\ln (7-x^2)^3 - x$, controllare se è invertibile in un intorno di $-1$ e calcolare $(f^{-1})'(-1)$.
Utilizzando la regola della derivata della funzione inversa come prima cosa dovrei calcolarmi le $x$ tali che $f(x)=-1$ ma non mi sembra sia un'equazione risolvibile analiticamente quindi non riesco a venirne a capo. Come posso procedere?
Utilizzando la regola della derivata della funzione inversa come prima cosa dovrei calcolarmi le $x$ tali che $f(x)=-1$ ma non mi sembra sia un'equazione risolvibile analiticamente quindi non riesco a venirne a capo. Come posso procedere?
Risposte
"tranesend":
Ciao a tutti avrei bisogno di un aiuto ad affrontare questo esercizio. Data la funzione $f(x)=\ln (7-x^2)^3 - x$, controllare se è invertibile in un intorno di $-1$ e calcolare $(f^{-1})'(-1)$.
e non $(f^{-1})'(f^{-1}(-1))$?
Attenzione, è $x=-1$, non $f(x)=-1$.
Ciao tranesend,
Se $y = f(x) $ è una funzione invertibile avente dominio $D $ e $x_0 \in D$ e $y_0 = f(x_0) \implies x_0 = f^-1 (y_0) $, il TDFI (Teorema di Derivazione della Funzione Inversa) afferma che si ha:
$(\text{d})/(\text{d}y) f^-1 (y_0) = 1/(f'(x_0)) $
Nel caso della funzione $ f(x)=\ln (7-x^2)^3 - x $ in esame il dominio naturale è $D = (-sqrt7, sqrt7) $
Se $y = f(x) $ è una funzione invertibile avente dominio $D $ e $x_0 \in D$ e $y_0 = f(x_0) \implies x_0 = f^-1 (y_0) $, il TDFI (Teorema di Derivazione della Funzione Inversa) afferma che si ha:
$(\text{d})/(\text{d}y) f^-1 (y_0) = 1/(f'(x_0)) $
Nel caso della funzione $ f(x)=\ln (7-x^2)^3 - x $ in esame il dominio naturale è $D = (-sqrt7, sqrt7) $
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