Insieme completo

[GuidoFretti1]

Buongiorno, sto trovando forti difficoltà a determinare se lo spazio

$X:={f in C^1(RR) | Sup_(x in RR) (1+x^2)|f'(x)|<+infty}$

è completo rispetto alla norma $||f||_X := |f(0)| + pi/2Sup_(x in RR) (1+x^2)|f'(x)|$

Ho provato per primo ad applicare la definizione: sia ${f_n}$ una successione di Cauchy in $X$, devo trovare se esiste $f in X$ t.c. $||f-f_n||_X ->0$ per $n->+infty$.

quindi per ogni $epsilon>0$ esiste $N$ t.c $AA n,m>=N$ $||f_n-f_m||_X Ma poi da qui non riesco a proseguire per concludere che esista $f$.

Qualcuno potrebbe darmi una mano?
grazie

[Wilde1]

Direi che ci serve un pretendente $f$ a cui far convergere la successione $(f_n)_\{n\in N}$.
Per scegliere $f$ possiamo prendere spunto dall'unica informazione che sappiamo, cioè che
$ \forall n,m>=N $, $|f_n(0)-f_m(0)| e che
$ \forall n,m>=N $, $Sup_(x in RR)|(f_n)'(x)-(f_m)'(x)|) Ricordando che sappiamo già che $R$ e lo spazio $(C(\mathbb{R}),||\cdot ||_\infty)$ sono completi.
Che dici, hai qualche idea?

[Studente Anonimo]

Dovrebbe essere necessaria anche la proprietà sottostante:

Ipotesi

Continuità

$AA n in NN: f_n(x) in C(RR)$

Limitatezza

$AA n in NN: Sup{|f_n(x)|} lt oo$

Convergenza uniforme

$lim_(n->+oo)f_n(x)=f(x)$

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr AA x in RR: f(x)-\epsilon lt f_n(x) lt f(x)+\epsilon$

Tesi

$lim_(n->+oo)Sup{f_n(x)}=Sup{lim_(n->+oo)f_n(x)}=Sup{f(x)} rarr$

$rarr AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN : n gt n_\epsilon rarr Sup{f(x)}-\epsilon lt Sup{f_n(x)} lt Sup{f(x)}+\epsilon$

Dimostrazione

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr AA x in RR: f(x)-\epsilon lt f_n(x) lt f(x)+\epsilon$

$x in [-M,M]$

Considerando $x_max$ uguale alla $x$ del massimo di $f(x)$:

$[f(x_max)-\epsilon lt f_n(x_max) lt f(x_max)+\epsilon] rarr [Max{f(x)}-\epsilon lt Max{f_n(x)}]$

Considerando $x_max$ uguale alla $x$ del massimo di $f_n(x)$:

$[f(x_max)-\epsilon lt f_n(x_max) lt f(x_max)+\epsilon] rarr [Max{f_n(x)} lt Max{f(x)}+\epsilon]$

Quindi:

$Max{f(x)}-\epsilon lt Max{f_n(x)} lt Max{f(x)}+\epsilon$

Infine, passando al limite per $M rarr oo$:

$Sup{f(x)}-\epsilon lt Sup{f_n(x)} lt Sup{f(x)}+\epsilon$

[GuidoFretti1]

"Wilde":Direi che ci serve un pretendente $f$ a cui far convergere la successione $(f_n)_\{n\in N}$.
Per scegliere $f$ possiamo prendere spunto dall'unica informazione che sappiamo, cioè che
$ \forall n,m>=N $, $|f_n(0)-f_m(0)| e che
$ \forall n,m>=N $, $Sup_(x in RR)|(f_n)'(x)-(f_m)'(x)|) Ricordando che sappiamo già che $R$ e lo spazio $(C(\mathbb{R}),||\cdot ||_\infty)$ sono completi.
Che dici, hai qualche idea?

Eh onestamente, anche sapendo che $(C(RR),||*||_infty)$ è completo, non riesco a capire come ragionare per trovare la $f$ che ci serve.. è proprio quello il problema.
Partendo dalle ipotesi date dal fatto che $f_n$ è di Cauchy, non riesco a capire come sfruttare quella ipotesi, in particolare mi pare rilevante utilizzare il fatto che $||(f_n)'-(f_m)'||_infty Probabilmente mi sto perdendo io... però proprio sono abbastanza in un vicolo cieco

[GuidoFretti1]

"anonymous_0b37e9":Dovrebbe essere necessaria anche la proprietà sottostante:

Ipotesi

Continuità

$AA n in NN: f_n(x) in C(RR)$

Limitatezza

$AA n in NN: Sup{|f_n(x)|} lt oo$

Convergenza uniforme

$lim_(n->+oo)f_n(x)=f(x)$

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr AA x in RR: f(x)-\epsilon lt f_n(x) lt f(x)+\epsilon$

Tesi

$lim_(n->+oo)Sup{f_n(x)}=Sup{lim_(n->+oo)f_n(x)}=Sup{f(x)} rarr$

$rarr AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN : n gt n_\epsilon rarr Sup{f(x)}-\epsilon lt Sup{f_n(x)} lt Sup{f(x)}+\epsilon$

Dimostrazione

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr AA x in RR: f(x)-\epsilon lt f_n(x) lt f(x)+\epsilon$

$x in [-M,M]$

Considerando $x_max$ uguale alla $x$ del massimo di $f(x)$:

$[f(x_max)-\epsilon lt f_n(x_max) lt f(x_max)+\epsilon] rarr [Max{f(x)}-\epsilon lt Max{f_n(x)}]$

Considerando $x_max$ uguale alla $x$ del massimo di $f_n(x)$:

$[f(x_max)-\epsilon lt f_n(x_max) lt f(x_max)+\epsilon] rarr [Max{f_n(x)} lt Max{f(x)}+\epsilon]$

Quindi:

$Max{f(x)}-\epsilon lt Max{f_n(x)} lt Max{f(x)}+\epsilon$

Infine, passando al limite per $M rarr oo$:

$Sup{f(x)}-\epsilon lt Sup{f_n(x)} lt Sup{f(x)}+\epsilon$

Ho capito veramente poco. Perché partire cosi?
Grazie

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda:

$f(x) in C^1(RR)$

dovrebbe essere utile la proprietà sottostante:

in particolare, l'ultima parte relativa ai limiti di integrazione variabili. Ammesso e non concesso che si riesca a concludere, per quanto riguarda:

$Sup_(x in RR){(1+x^2)|f'(x)|} lt oo$

mi sembrano sufficientemente rigorosi i contenuti del mio messaggio precedente.

"GuidoFretti":
Ho capito veramente poco. Perché partire cosi?

Prima o poi è necessario dimostrare che:

$Sup_(x in RR){(1+x^2)|f'(x)|} lt oo$

Che cosa non avresti capito?

[GuidoFretti1]

Non è mi chiaro perché dovendo dimostrare la completezza di $X$, non si stia usando il fatto che le $f_n$ siano di Cauchy, ma si è passati subito a fare questo ragionamento che non mi è ancora del tutto chiaro a livello teorico

[Studente Anonimo]

La dimostrazione consta di due parti:

Prima parte

$f(x) in C^1(RR)$

Seconda parte

$Sup_(x in RR){(1+x^2)|f'(x)|} lt oo $

essendo $f(x)$ la funzione limite, quella che Wilde ha chiamato "pretendente". Il mio primo messaggio intendeva dimostrare solo la seconda. Ovviamente rimane la prima, in cui è necessario partire dalla successione di Cauchy. Vero è che non mi sembra banale. Motivo per il quale ho allegato le due immagini relative ad una proprietà che dovrebbe essere utile allo scopo. Inutile dire che, come minimo, è necessario lavorarci un po'.

[GuidoFretti1]

Ok mi è tutto più chiaro.
Certamente la strada non è semplice, anzi per concludere.
Forse però con il metodo di Wilde si riesce ad abbreviare la strada sfruttando il fatto della completezza.

Ma attendo una sua risposta.

Grazie

[Studente Anonimo]

"GuidoFretti":
Forse però con il metodo di Wilde ...

Che sia necessario procedere come proposto da Wilde non c'è ombra di dubbio. Tuttavia, se si vuole essere sufficientemente rigorosi, bisogna cominciare a formalizzare. E, ammesso e non concesso che ci si riesca, non mi sembra affatto banale.

[GuidoFretti1]

Su quello concordo in pieno.

Attendo una risposta di Wilde per riuscire a comprendere del tutto l'esercizio.

Chiaramente il tuo post aiuta già molto.
Direi che l'esercizio non è per nulla banale

[Studente Anonimo]

Per adesso, anche io passo volentieri la mano a Wilde.

[GuidoFretti1]

"anonymous_0b37e9":Per adesso, anche io passo volentieri la mano a Wilde.

Ti ringrazio per l'aiuto dato.

Speriamo Wilde risponda così da chiudere il cerchio

[Studente Anonimo]

Così dovrebbe andare:

Passo 1

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr ||f_n(x)-f_m(x)|| lt \epsilon$

implica

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr |f_n(0)-f_m(0)|+Sup(1+x^2)|f'_n(x)-f'_m(x)| lt \epsilon$

implica

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr |f_n(0)-f_m(0)|+Sup|f'_n(x)-f'_m(x)| lt \epsilon$

implica

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr |f_n(0)-f_m(0)| lt \epsilon ^^ Sup|f'_n(x)-f'_m(x)| lt \epsilon$

implica

$[lim_(n->+oo)f_n(0)=l] ^^ [lim_(n->+oo)f'_n(x)=g(x)]$ (uniformemente e quindi g(x) è continua)

Passo 2

$lim_(n->+oo)[\int_{0}^{x}f'_n(x)dx]=lim_(n->+oo)[f_n(x)-f_n(0)]=f(x)-l$ (uniformemente e quindi f(x) è continua)

$lim_(n->+oo)[\int_{0}^{x}f'_n(x)dx]=\int_{0}^{x}g(x)dx=G(x)-G(0)$

implica

$f(x)-l=G(x)-G(0)$

implica

$f'(x)=g(x)$ (f'(x) è continua perché g(x) è continua)

Conclusione

$f(x) in C^1(RR)$

P.S.
Al passo 2 mi sono avvalso della proprietà inclusa nelle due immagini allegate in precedenza.

[Wilde1]

Ammetto di non aver letto i post intermedi. Sono scritti in modo sicuramente corretto e molto puntiglioso ma il tempo scarseggia e non sono di immediata lettura (scusatemi, se servirà lo farò volentieri).
Ritornando a bomba sul problema, abbiamo quindi due successioni di Cauchy (nei rispettivi spazi):
$(f_n(0))_{n\in\mathbb{N}}$ e $(f_n^{'})_{n\in\mathbb{N}}$.
Essendo gli spazi completi sppiamo che entrambe le successioni convergono, e possiamo dire quindi che
\[
f_n(0) \to_{n\to\infty} a\in \mathbb{R} \qquad\qquad f_n^{'}\to_{n\to\infty} g\in C(\mathbb{R})
\]
Ora, potrebbe andare bene questa funzione
\[
f(x) := a + \int_0^x g(t) dt
\]
Ti lascio la verifica.

[GuidoFretti1]

Allora, i post del Sergente sono abbastanza chiari e sostanzialmente portano a dimostrare che $f in C^1(RR)$.


Invece a proposito della tua risposta ho qualche dubbio:

$0)$ la funzione $f$ trovata vale per ogni successione di Cauchy in
$X$ giusto? Altrimenti negherei la def di completo...ho capito bene vero?

Inoltre dovrei verificare che un generica funziona espressa come la tua $f(x)$ è tale che:

$1) f in X$ e qui ok perché si tratta di fare un conto.

$2)$ $||f-f_n|_X ->0$ per $n->+infty$. Ma qui come faccio ad effettuare la verifica se non ho l'espressione delle $f_n$?

Grazie

[Wilde1]

Ma non stiamo considerando una generica funzione $f$ di quella forma.

Data una particolare successione di Cauchy $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ scegliamo $a$ e $g$ come nel post sopra e chiaramente dipendono dalla particolare successione di Cauchy che analizziamo, proprio per come le abbiamo scelte (definite).

Si tratta semplicemente di verificare che $||f-f_n||_{X} \to 0$ e che $f\in X$

Riflettici meglio e vedrai che hai tutto per concludere

[GuidoFretti1]

Sisi per il punto $0)$ mi sono espresso male. Intendo che la tecnica di costruzione di $f$, cambiando $a$ e $g$ è la medesima.

$1)$ si mi è chiaro che debba verificare che $f in X$, però mi torna abbastanza..

$2)$ questo è il punto dove ho maggior difficoltà: parto dalla espressione esplicita di $||f-(f_n)||_X$ sostituendo l'espressione di $f$, e posso usare la disuguaglianza triangolare del modulo e utilizzare il fatto che $f in X$, $f_n in X$...ma poi non riesco a capire come concludere che tenda tutto a zero.
Cosa sto sbagliando/non capendo?

[GuidoFretti1]

"Wilde":Direi che ci serve un pretendente $f$ a cui far convergere la successione $(f_n)_\{n\in N}$.
Per scegliere $f$ possiamo prendere spunto dall'unica informazione che sappiamo, cioè che
$ \forall n,m>=N $, $|f_n(0)-f_m(0)| e che
$ \forall n,m>=N $, $Sup_(x in RR)|(f_n)'(x)-(f_m)'(x)|) Ricordando che sappiamo già che $R$ e lo spazio $(C(\mathbb{R}),||\cdot ||_\infty)$ sono completi.
Che dici, hai qualche idea?

Ma $C(IR),||*||_infty)$ perché è completo?

Sbaglio o $f(x)=x$ $g(x)=0$ sono funzioni in $C(IR)$ ma $||f-g||_infty=+infty$ e quindi in questo caso $||*||_infty$ non sarebbe una distanza?

Come modifico a questo punto la dimostrazione?

Non so più cosa fare!
Grazie

[Studente Anonimo]

"GuidoFretti":
Ma $(C(RR),||*||_infty)$ perché è completo?

Infatti, non essendo nemmeno una norma, non ha alcun senso interrogarsi sulla completezza. La definizione sottostante:

$||f(x)||=Sup|f(x)|$

non può essere una norma per:

$X={f(x) in C(RR)}$

Affinché sia una norma, è necessario considerare solo le funzioni limitate:

$X={f(x) in C(RR): Sup|f(x)| lt oo}$

Così facendo, lo spazio è anche completo.

Ipotesi

$X={f(x) in C(RR): Sup|f(x)| lt oo}$

$||f(x)||=Sup|f(x)|$

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr Sup|f_n(x)-f_m(x)| lt \epsilon$

Tesi

$EE f(x) in X: AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr Sup|f_n(x)-f(x)| lt \epsilon$

Dimostrazione

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr Sup|f_n(x)-f_m(x)| lt \epsilon$

$AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n,m gt n_\epsilon rarr AA x in RR: |f_n(x)-f_m(x)| lt \epsilon$

$AA x in RR EE y in RR: AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr |f_n(x)-y| lt \epsilon$

$EE y=f(x): AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr Sup|f_n(x)-f(x)| lt= \epsilon$

A questo punto, poiché la convergenza è uniforme:

$f(x) in C(RR)$

e per concludere è sufficiente dimostrare che è limitata:

$Sup|f(x)| lt oo$

Volendo essere molto formali, per la disuguaglianza triangolare:

$AA x in RR$

$|f(x)-0| lt= |f(x)-f_(n_\epsilon+1)(x)|+|f_(n_\epsilon+1)(x)-0| lt= \epsilon+M rarr$

$rarr |f(x)| lt= \epsilon+M$

visto che, per ipotesi:

$AA x in RR$

$|f_(n_\epsilon+1)(x)| lt= M$

e quindi:

$Sup|f(x)| lt oo$

Ad ogni modo, prima di concentrarsi sull'esercizio che hai proposto, potrebbe essere d'aiuto affrontare le problematiche della sua variante sottostante:

$X={f(x) in C^1(RR): Sup|f'(x)| lt oo}$

$||f(x)||=Sup|f'(x)|$

senza perdere di vista quello contenuto nel messaggio:

$X={f(x) in C(RR): Sup|f(x)| lt oo}$

$||f(x)||=Sup|f(x)|$

[GuidoFretti1]

Il testo di partenza considera $X$ come lo hai proposto tu, cioè con $C^1(RR)$.

Il problema,spero di non sbagliare io è che Wilde arrivava ad una conclusione considerando $(C(RR),||*||_infty)$ completo...
Ma sbaglio o questo non è vero?

Quindi anche la dimostrazione non vale... perché se le $(f_n)'$ sono di Cauchy, chi mi assicura che il loro limite esiste ed è in $C(RR)$ ?

Magari però sbaglio io