Successioni, limiti e norme
Buongiorno, ho 2 dubbi (forse banali) ma a cui non riesco a dare una risposta:
1) data una successione $x_n$ contenuta nella sfera unitaria $S1$, come faccio a dire che $x_n$ converge, cioè esiste $x:=lim_n(x_n)$?
Poiché $S1$ è completo, mi basterebbe far vedere che $x_n$ è di Cauchy, ma partendo dalla definizione non riesco a capire come fare. Qualcuno può darmi una mano? Ci sono modi più immediati?
2) data $A:=lim_n(||x^(1/n)||_infty)$ è sufficiente dire che grazie alla continuità della norma allora $A=B:=||lim_n(x^(1/n))||_infty$ oppure quali altre condizioni sono necessarie per poter effettuare lo "scambio" del limite?
Grazie
1) data una successione $x_n$ contenuta nella sfera unitaria $S1$, come faccio a dire che $x_n$ converge, cioè esiste $x:=lim_n(x_n)$?
Poiché $S1$ è completo, mi basterebbe far vedere che $x_n$ è di Cauchy, ma partendo dalla definizione non riesco a capire come fare. Qualcuno può darmi una mano? Ci sono modi più immediati?
2) data $A:=lim_n(||x^(1/n)||_infty)$ è sufficiente dire che grazie alla continuità della norma allora $A=B:=||lim_n(x^(1/n))||_infty$ oppure quali altre condizioni sono necessarie per poter effettuare lo "scambio" del limite?
Grazie
Risposte
1) Non riesci a dimostrarlo perché è falso. Considera $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}= \left(\frac{(-1)^n}{4},\frac{(-1)^n}{4}\right)$, hai che $(x_n)_n \subset \mathbb{S}_1$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ in quanto $|| x_n ||=\frac{1}{2\sqrt{2}}<1$, tuttavia $(x_n)_n$ non converge.
"Mephlip":
1) Non riesci a dimostrarlo perché è falso. Considera $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}= \left(\frac{(-1)^n}{4},\frac{(-1)^n}{4}\right)$, hai che $(x_n)_n \subset \mathbb{S}_1$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ in quanto $|| x_n ||=\frac{1}{2\sqrt{2}}<1$, tuttavia $(x_n)_n$ non converge.
Ho capito il tuo controesempio, ma io ho che come definizione $S1={x in X | ||x||_infty =1}$ dove $X$ è uno spazio normato di dimensione finita e per ipotesi ho $S1$ contenuto in $X$.
Quindi nella mia definizione il tuo elemento non starebbe in $S1$.
In questa def. di $S1$ non esiste comunque il limite $x$ delle $x_n$?
Perché dovrei dimostrare che dato una successione $x_n$ in $S1$ t.c $d(x_n,X_0)>=1-1/n$, $X_0$ sottospazio di $X$, esiste un $x$, t.c $||x||_infty=1$ e t.c $d(x,X_0)>=1$.
Quindi se potessi dire che esiste il limite delle $x_n$, allora per le proprietà di $S1$ anche il limite delle $x_n$ starebbe in $S1$ e quindi avrei la conclusione.
Qualcuno può aiutarmi?
La 2) invece torna o è errata?
Grazie
Prego! Con $\mathbb{S}_1$ credevo intendessi cerchio unitario perché, nel primo messaggio, hai usato la parola "dentro" riferendoti a $\mathbb{S}_1$. Comunque, anche se è la circonferenza unitaria, non credo cambi. Se $X=\mathbb{R}^2$ con la norma usuale, prendi $x_n=((-1)^n,0)$. Credo che con $||x||_\infty$ tu intenda la norma dell'estremo superiore, allora hai che $||x_n||_\infty=1$ e quindi $(x_n)_n \subset \mathbb{S}_1$, ma comunque la successione non converge. Ma potrei tranquillamente sbagliare, visto che è da un po' che non vedo queste cose. Ti ho convinto? Se non sei d'accordo ovviamente ne parliamo ancora 
.
Per il punto (2) non so aiutarti, ti consiglio di aspettare pareri più esperti del mio.
.Per il punto (2) non so aiutarti, ti consiglio di aspettare pareri più esperti del mio.
sul punto 2) ok allora aspetto un parere dai più esperti.
Sul punto 1) invece allora mi hai convinto che non tutte le successioni $x_n$ in $S1$ convergono, ma non so più come fare allora l'esercizio.
la richiesta dell'esercizio è: data una successione $x_n$ in $S1$ t.c $d(x_n,X_0)>=1-1/n$, $X_0$ sottospazio di $X$ ($X$ spazio normato finito dimensionale contenente $S1$),dimostrare che esiste un $x$, t.c $||x||_infty=1$ e t.c $d(x,X_0)>=1$.
il mio ragionamento funzionava se potevo affermare che le $x_n$ avessero limite, ma se non posso fare questo come dovrei ragionare per poter dimostrare l'esercizio?
ad esempio(uscendo un attimo dal solo esercizio) volevo capire se rimanendo in $X$ generico almeno una $x_n$ in $S1$ che ammette limite e t.c. $d(x_n,X_0)>=1-1/n$ esiste, ma come potrei fare ciò? E' forse troppo assurda e complicata come idea da voler dimostrare?
grazie
Sul punto 1) invece allora mi hai convinto che non tutte le successioni $x_n$ in $S1$ convergono, ma non so più come fare allora l'esercizio.
la richiesta dell'esercizio è: data una successione $x_n$ in $S1$ t.c $d(x_n,X_0)>=1-1/n$, $X_0$ sottospazio di $X$ ($X$ spazio normato finito dimensionale contenente $S1$),dimostrare che esiste un $x$, t.c $||x||_infty=1$ e t.c $d(x,X_0)>=1$.
il mio ragionamento funzionava se potevo affermare che le $x_n$ avessero limite, ma se non posso fare questo come dovrei ragionare per poter dimostrare l'esercizio?
ad esempio(uscendo un attimo dal solo esercizio) volevo capire se rimanendo in $X$ generico almeno una $x_n$ in $S1$ che ammette limite e t.c. $d(x_n,X_0)>=1-1/n$ esiste, ma come potrei fare ciò? E' forse troppo assurda e complicata come idea da voler dimostrare?
grazie
Per la 1), ti basta che esista una sottosuccessione convergente, per la 2) non si capisce bene cosa intendi con $x^(1/n)$.
1)Ma come posso far vedere che esiste una sottosuccessione convergente?
Applico Bolzano-Weierstrass?
2)allora, questo punto fa parte di un esercizio molto più lungo in cui prima $X$={f continue su [0,1] | f(0)=0} e $X_0$={f in X | l' integrale tra 0 e 1 f è zero} e dice che $h$ appartiene a $X/X_0$.
Poi dice, si supponga $h=x^(1/n)$ in $X_0$ per assurdo e chiede di dimostrare altro che però qui non interessa
Applico Bolzano-Weierstrass?
2)allora, questo punto fa parte di un esercizio molto più lungo in cui prima $X$={f continue su [0,1] | f(0)=0} e $X_0$={f in X | l' integrale tra 0 e 1 f è zero} e dice che $h$ appartiene a $X/X_0$.
Poi dice, si supponga $h=x^(1/n)$ in $X_0$ per assurdo e chiede di dimostrare altro che però qui non interessa
Per la 1), si, vale solo perchè sei in uno spazio di dimensione finita, e lopuoi dimostrare con Bolzano Weierstrass.
Per la 2), puoi appellarti alla continuità della norma solo per le successioni che convergono in quella norma, altrimenti no!
In questo caso $x^(1/n)$ tende a $1$, ma non in quella norma quindi devi farlo a mano, che non è nemmeno difficile.
Per la 2), puoi appellarti alla continuità della norma solo per le successioni che convergono in quella norma, altrimenti no!
In questo caso $x^(1/n)$ tende a $1$, ma non in quella norma quindi devi farlo a mano, che non è nemmeno difficile.
scusami, ma non ho del tutto compreso la tua risposta: provo a scrivere quello che ho capito:
1) le $x_n$ essendo in $S1$ sono limitate e quindi applicando il teorema di Bolzano-W trovo una sottosuccessione convergente. Ma allora $lim_k(x_(nk)=:x$ è t.c $||x||=1$ (perchè $x$ sta in $S1$) e t.c $d(x,X0)>=1$ come si voleva.
2) non ho capito cosa devo fare? dimostrare proprio a mano che calcolare $lim_n(||x^(1/n)||_infty)$ e calcolare $||lim_n(x^(1/n))||_infty$ è la stessa cosa?
perchè in questo caso :
$(||x^(1/n)||_infty)$ con $x in [0,1]$ è $1$ e quindi $lim_n(||x^(1/n)||_infty)=lim_n(1)=1$
$||lim_n(x^(1/n))||_infty=||1||_infty=1$
corretto?
1) le $x_n$ essendo in $S1$ sono limitate e quindi applicando il teorema di Bolzano-W trovo una sottosuccessione convergente. Ma allora $lim_k(x_(nk)=:x$ è t.c $||x||=1$ (perchè $x$ sta in $S1$) e t.c $d(x,X0)>=1$ come si voleva.
2) non ho capito cosa devo fare? dimostrare proprio a mano che calcolare $lim_n(||x^(1/n)||_infty)$ e calcolare $||lim_n(x^(1/n))||_infty$ è la stessa cosa?
perchè in questo caso :
$(||x^(1/n)||_infty)$ con $x in [0,1]$ è $1$ e quindi $lim_n(||x^(1/n)||_infty)=lim_n(1)=1$
$||lim_n(x^(1/n))||_infty=||1||_infty=1$
corretto?
Si, è corretto ed è quello che intendevo.
ma ho ancora un dubbio
"GuidoFretti":
2)allora, questo punto fa parte di un esercizio molto più lungo in cui prima $X$={f continue su [0,1] | f(0)=0} e $X_0$={f in X | l' integrale tra 0 e 1 f è zero} e dice che $h$ appartiene a $X/X_0$.
Poi dice, si supponga $h=x^(1/n)$ in $X_0$ per assurdo e chiede di dimostrare altro che però qui non interessa
Ma il limite (puntuale) delle funzioni $h_n$ non è continua. O non ho capito cosa stai cercando di fare?
mi sono espresso male: prima considera una generica $h in X-X_0=$; poi per assurdo suppone di prendere $h=h_n=x^(1/n)$ in $X_0$ ma non dice che $h=h_n=x^(1/n)$ sia in $X-X_0$
"otta96":
Si, è corretto ed è quello che intendevo.
mi è rimasto un solo dubbio, essendo ${x_(nk)}$ contenuta in ${x_n}$ posso ancora dire che
i) ${x_(nk)}$ contenuta in $S1$
ii) per ogni nk>0, $||x_(nk)||=1$ e $d(x_(nk),X_0)>=1-1/(nk)$ e facendo il limite per $k$ che tende ad $+infty$ trovo $d(x,X_0)>=1$ ?
grazie
Si sono vere entrambe, ma la 1) è veramente evidente, dovresti riuscire a convincerti anche da solo di cose così facili.
si ci sono arrivato dopo in effetti. essendo sottosuccessione, deve valere per forza se vale per la successione
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