Dubbio limite in 2 variabili
Ciao a tutti, avrei un dubbio a proposito di questo limite:
$$\lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{\sin^4x+y^4}{x^2+y^2}$$
Ho provato a farlo nel seguente modo:
- anzitutto osservo che la funzione di cui devo fare il limite è sempre $\ge0$ ed è pari nelle variabili $x,y$, dunque posso considerare il limite per $(x,y)\to(0^+,0^+)$
- per $x\ge0$ so che $\sin x \le x$ per cui posso maggiorare:
$$0\le \lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{\sin^4x+y^4}{x^2+y^2} \le \lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}$$
- passando in polari nel membro di destra, ho che:
$$\lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2} \le \lim_{\rho\to 0^+} \frac{\rho^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)}{\rho^2}=0$$
Concludo quindi che il mio limite iniziale è zero.
tuttavia WolframAlpha dice che tale limite non esiste; sto sbagliando io o Wolfram?
Grazie in anticipo
$$\lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{\sin^4x+y^4}{x^2+y^2}$$
Ho provato a farlo nel seguente modo:
- anzitutto osservo che la funzione di cui devo fare il limite è sempre $\ge0$ ed è pari nelle variabili $x,y$, dunque posso considerare il limite per $(x,y)\to(0^+,0^+)$
- per $x\ge0$ so che $\sin x \le x$ per cui posso maggiorare:
$$0\le \lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{\sin^4x+y^4}{x^2+y^2} \le \lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}$$
- passando in polari nel membro di destra, ho che:
$$\lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2} \le \lim_{\rho\to 0^+} \frac{\rho^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)}{\rho^2}=0$$
Concludo quindi che il mio limite iniziale è zero.
tuttavia WolframAlpha dice che tale limite non esiste; sto sbagliando io o Wolfram?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao Craniums,
Benvenuto sul forum!
Mi pare corretto, a parte questa
$ \lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2} \le \lim_{\rho\to 0^+} \frac{\rho^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)}{\rho^2} $
che non è una disuguaglianza, ma un'uguaglianza:
$ \lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2} = \lim_{\rho\to 0^+} \frac{\rho^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)}{\rho^2}=0 $
Quanto a WolframAlpha non mi fiderei troppo per i limiti in due variabili, anche perché occorre tener presente che lavora nel campo complesso...
Benvenuto sul forum!
"Craniums":
Concludo quindi che il mio limite iniziale è zero.
Mi pare corretto, a parte questa
$ \lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2} \le \lim_{\rho\to 0^+} \frac{\rho^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)}{\rho^2} $
che non è una disuguaglianza, ma un'uguaglianza:
$ \lim_{(x.y)\to(0,0)} \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2} = \lim_{\rho\to 0^+} \frac{\rho^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)}{\rho^2}=0 $
Quanto a WolframAlpha non mi fiderei troppo per i limiti in due variabili, anche perché occorre tener presente che lavora nel campo complesso...
Ciao! Benvenuto sul forum.
Come ti ha già ben consigliato pilloeffe, diffida di Wolfram Alpha quando si tratta di questo argomento (e non solo).
Questo passaggio che ho citato va giustificato meglio: devi dimostrare che il limite è $0$ tramite una maggiorazione indipendente da $\theta$, ti serve una funzione maggiorante dipendente solo da $\rho$ e che tende a $0$ per $\rho \to 0^+$; se non fai ciò, puoi cadere facilmente in errore.
Un esempio di un limite che non esiste ma che, dopo il passaggio in coordinate polari, apparentemente è $0$ se si passa al limite per $\rho \to 0^+$ abusivamente è il seguente:
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4+y^2}$$
Come ti ha già ben consigliato pilloeffe, diffida di Wolfram Alpha quando si tratta di questo argomento (e non solo).
"Craniums":
$$ \lim_{\rho\to 0^+} \frac{\rho^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)}{\rho^2}=0$$
Concludo quindi che il mio limite iniziale è zero.
Questo passaggio che ho citato va giustificato meglio: devi dimostrare che il limite è $0$ tramite una maggiorazione indipendente da $\theta$, ti serve una funzione maggiorante dipendente solo da $\rho$ e che tende a $0$ per $\rho \to 0^+$; se non fai ciò, puoi cadere facilmente in errore.
Un esempio di un limite che non esiste ma che, dopo il passaggio in coordinate polari, apparentemente è $0$ se si passa al limite per $\rho \to 0^+$ abusivamente è il seguente:
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4+y^2}$$
"Mephlip":
Ciao! Benvenuto sul forum.
Come ti ha già ben consigliato pilloeffe, diffida di Wolfram Alpha quando si tratta di questo argomento (e non solo).
[quote="Craniums"]$ \lim_{\rho\to 0^+} \frac{\rho^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)}{\rho^2}=0$
Concludo quindi che il mio limite iniziale è zero.
Questo passaggio che ho citato va giustificato meglio: devi dimostrare che il limite è $0$ tramite una maggiorazione indipendente da $\theta$, ti serve una funzione maggiorante dipendente solo da $\rho$ e che tende a $0$ per $\rho \to 0^+$; se non fai ciò, puoi cadere facilmente in errore.
Un esempio di un limite che non esiste ma che, dopo il passaggio in coordinate polari, apparentemente è $0$ se si passa al limite per $\rho \to 0^+$ abusivamente è il seguente:
$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4+y^2}$ [/quote]
Attento Mephlip! la funzione
$\frac{\rho^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta}{\rho^2}$
tende a zero per $\rho$ che tende a zero anche se dipende da $\theta$, infatti semplificando $\rho$ al denominatore ottengo
$\rho^2(\cos^4\theta+\sin^4\theta)$
che va chiaramente a $0$ per $\rho\to 0$, questo perchè seno e coseno sono funzioni limitate.
Più in generale, l'osservazione chiave è che la funzione $\cos^4\theta+\sin^4\theta$ è sempre strettamente positiva!
Nella funzione che dici tu invece ho dei cambi di segno dovuti alla presenza di $\theta$.
Non è necessario fare una maggiorazione totalmente indipendente da $\theta$ per determinare un limite.
Volendo essere super rigorosi, basta dire che $\cos^4\theta+\sin^4\theta$ ammette massimo e minimo globali $m,M$ strettamente positivi
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