Contenimento di insiemi
Siano $X,Y$ spazi metrici e siano $f_n:X->Y$ una successione di funzioni continue che convergono puntualmente : $AA x$ esiste $lim_(n)f_n(x)$ in $Y$ e definisce $f:X->Y$.
sia $F_(n,m):={x| d_Y(f_n(x),f_k(x))<=1/m, AAk>=n}$, dimostrare che $F_(n,m) sube F_(n+1,m)$
purtroppo non riesco a dimostrare questo fatto: come idea ho che se le $f_n$ convergendo puntualmente sono di Cauchy e quindi all'aumentare di $n$ l'insieme delle $x in X$ per cui vale $d_Y(f_n(x),f_k(x))<=1/m$ aumenta e di conseguenza $F_(n,m) sube F_(n+1,m)$.
Ma chiaramente questa non può dirsi una dimostrazione: partendo però dalla definizione di $F_(n,m)$ non sono riuscito a concludere nulla. Qualcuno può aiutarmi?
grazie
sia $F_(n,m):={x| d_Y(f_n(x),f_k(x))<=1/m, AAk>=n}$, dimostrare che $F_(n,m) sube F_(n+1,m)$
purtroppo non riesco a dimostrare questo fatto: come idea ho che se le $f_n$ convergendo puntualmente sono di Cauchy e quindi all'aumentare di $n$ l'insieme delle $x in X$ per cui vale $d_Y(f_n(x),f_k(x))<=1/m$ aumenta e di conseguenza $F_(n,m) sube F_(n+1,m)$.
Ma chiaramente questa non può dirsi una dimostrazione: partendo però dalla definizione di $F_(n,m)$ non sono riuscito a concludere nulla. Qualcuno può aiutarmi?
grazie
Risposte
Se $P_k$ è vero per ogni $k\ge n$, possiamo dedurre che $P_k$ è vero per ogni $k\ge n+1$?
Sarebbe una sorta di dimostrazione induttiva?
Bhe la mia risposta alla tua domanda sarebbe sì, perché se $P_k$ vale $AA k>=n$, a maggior ragione vale se $k>=n+1$.
$F_(n,m)$ considera il caso $AA k>=n$ , mentre $F_(n+1,m)$ il caso $AA k>=n+1$. Ma in quest'ultimo caso, perché dovrei avere più $x$ che soddisfano la condizione rispetto al primo caso?
Mi verrebbe da dire che è quasi il contrario, perché considerando $k>=n+1$ "perdo" una $f_k$.
Ma evidentemente sto sbagliando di brutto.... potrebbe aiutarmi a capire?
Grazie
Bhe la mia risposta alla tua domanda sarebbe sì, perché se $P_k$ vale $AA k>=n$, a maggior ragione vale se $k>=n+1$.
$F_(n,m)$ considera il caso $AA k>=n$ , mentre $F_(n+1,m)$ il caso $AA k>=n+1$. Ma in quest'ultimo caso, perché dovrei avere più $x$ che soddisfano la condizione rispetto al primo caso?
Mi verrebbe da dire che è quasi il contrario, perché considerando $k>=n+1$ "perdo" una $f_k$.
Ma evidentemente sto sbagliando di brutto.... potrebbe aiutarmi a capire?
Grazie
"GuidoFretti":
Mi verrebbe da dire che è quasi il contrario, perché considerando $k>=n+1$ "perdo" una $f_k$.
Hai meno restrizioni.
Quindi banalmente $F_(n,m)>=F_(n+1,m)$ perché valendo $F_(n,m)$ per ogni $k>=n$ vale anche per $k>=n+1$, che sarebbe $F_(n+1,m)$.
Sarebbe quindi questa la dimostrazione formale della tesi proposta?
Sarebbe quindi questa la dimostrazione formale della tesi proposta?
"GuidoFretti":
Quindi banalmente $F_(n,m)>=F_(n+1,m)$
$>=$?
"ghira":
[quote="GuidoFretti"]Quindi banalmente $F_(n,m)>=F_(n+1,m)$
$>=$?[/quote]
Ho sbagliato a scrivere, chiaramente è un $<=$.
Ma il ragionamento è corretto no?
"GuidoFretti":
Ma il ragionamento è corretto no?
Secondo me sì.
Grazie mille
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