Potenziale forma differenziale esatta
Ciao a tutti! Ho un dubbio su questo esercizio:
$ \omega = x(2log(xy)+1) dx +x^2/y dy $
calcolare $\int \omega $ dove $\gamma$ è la curva di parametrizzazione: $ (4+cost,3+2sint) , t in [0,\pi] $
Io prima ho verificato che la forma differenziale fosse chiusa così:
$ del[x(2log(xy)+1)]/(dely) = del[x^2/y]/(delx) = 2x/y $ le derivare sono uguali e quindi $\omega$ è chiusa.
Ora vediamo se è esatta
Derivo la seconda componente: $\int x^2/y dy = x^2logy + c(x) $
Derivo questo risultato rispetto all'altra variabile e poniamo il risultato uguale all'altra componente:
$ del[x^2logy + c(x)]/(delx) = 2x + c'(x) = x(2log(xy)+1) rArr c'(x)=x(2log(xy)+1)-2x$ da cui integrando trovo $c(x) = x^2log(xy) -x^2$
Allora ho trovato la seguente primitiva: $F(x,y) = x^2logy + x^2log(xy) -x^2$
Dato che $\omega$ è chiusa posso trovare il potenziale trovando il punto iniziale e finale della curva che nel nostro caso è :
$\int \omega = F(4,5) - F(5,3) $ da questo trovo un valore $\nexists 0$ quindi posso concludere che la forma differenziale non è esatta?
Questo procedimento è corretto oppure dovevo integrare tutta la forma differenziale secondo la parametrizzazione che mi era stata data?
Se ho sbagliato come dovrei procedere?
Grazie e scusate se mi sono dilungata troppo!
$ \omega = x(2log(xy)+1) dx +x^2/y dy $
calcolare $\int \omega $ dove $\gamma$ è la curva di parametrizzazione: $ (4+cost,3+2sint) , t in [0,\pi] $
Io prima ho verificato che la forma differenziale fosse chiusa così:
$ del[x(2log(xy)+1)]/(dely) = del[x^2/y]/(delx) = 2x/y $ le derivare sono uguali e quindi $\omega$ è chiusa.
Ora vediamo se è esatta
Derivo la seconda componente: $\int x^2/y dy = x^2logy + c(x) $
Derivo questo risultato rispetto all'altra variabile e poniamo il risultato uguale all'altra componente:
$ del[x^2logy + c(x)]/(delx) = 2x + c'(x) = x(2log(xy)+1) rArr c'(x)=x(2log(xy)+1)-2x$ da cui integrando trovo $c(x) = x^2log(xy) -x^2$
Allora ho trovato la seguente primitiva: $F(x,y) = x^2logy + x^2log(xy) -x^2$
Dato che $\omega$ è chiusa posso trovare il potenziale trovando il punto iniziale e finale della curva che nel nostro caso è :
$\int \omega = F(4,5) - F(5,3) $ da questo trovo un valore $\nexists 0$ quindi posso concludere che la forma differenziale non è esatta?
Questo procedimento è corretto oppure dovevo integrare tutta la forma differenziale secondo la parametrizzazione che mi era stata data?
Se ho sbagliato come dovrei procedere?
Grazie e scusate se mi sono dilungata troppo!
Risposte
Premesso che la curva giace interamente nel primo quadrante, regione convessa, la forma differenziale, essendo chiusa, è anche esatta. Inoltre:
$\{((delV)/(delx)=2xlogx+2xlogy+x),((delV)/(dely)=x^2/y):} rarr$
$rarr \{(2xlogy+C_1^{\prime}(x)=2xlogx+2xlogy+x),(V(x,y)=x^2logy+C_1(x)):} rarr$
$rarr \{(C_1^{\prime}(x)=2xlogx+x),(V(x,y)=x^2logy+C_1(x)):} rarr$
$rarr \{(C_1(x)=x^2logx+C_2),(V(x,y)=x^2logy+C_1(x)):} rarr$
$rarr V(x,y)=x^2logy+x^2logx+C_2$
Quindi, l'integrale curvilineo lungo $\gamma$ vale:
$V(3,3)-V(5,3)=-7log3-25log5$
$\{((delV)/(delx)=2xlogx+2xlogy+x),((delV)/(dely)=x^2/y):} rarr$
$rarr \{(2xlogy+C_1^{\prime}(x)=2xlogx+2xlogy+x),(V(x,y)=x^2logy+C_1(x)):} rarr$
$rarr \{(C_1^{\prime}(x)=2xlogx+x),(V(x,y)=x^2logy+C_1(x)):} rarr$
$rarr \{(C_1(x)=x^2logx+C_2),(V(x,y)=x^2logy+C_1(x)):} rarr$
$rarr V(x,y)=x^2logy+x^2logx+C_2$
Quindi, l'integrale curvilineo lungo $\gamma$ vale:
$V(3,3)-V(5,3)=-7log3-25log5$
Per prima cosa grazie per la risposta. Poi volevo chiarire alcuni dubbi:
Non capisco perchè fai questo passaggio. non è giusto come ho fatto io? si derivano le componenti rispetto all'altra variabile no?
Perchè il punto finale è V(3,3)? a me risulta V(4,5).
"anonymous_0b37e9":
$ \{((delV)/(delx)=2xlogx+2xlogy+x),((delV)/(dely)=x^2/y):} rarr $
$ rarr \{(2xlogy+C_1^{\prime}(x)=2xlogx+2xlogy+x),(V(x,y)=x^2logy+C_1(x)):} rarr $
Non capisco perchè fai questo passaggio. non è giusto come ho fatto io? si derivano le componenti rispetto all'altra variabile no?
"anonymous_0b37e9":
Quindi, l'integrale curvilineo lungo $ \gamma $ vale:
$ V(3,3)-V(5,3)=-7log3-25log5 $
Perchè il punto finale è V(3,3)? a me risulta V(4,5).
Qui c'è un errore:
$(del(x^2logy+c(x)))/(delx)=2x+c'(x)$
Veramente:
$(del(x^2logy+c(x)))/(delx)=2xlogy+c'(x)$
Per quanto riguarda il punto finale, ti ricordo che $cos\pi=-1$ e $sen\pi=0$.
$(del(x^2logy+c(x)))/(delx)=2x+c'(x)$
Veramente:
$(del(x^2logy+c(x)))/(delx)=2xlogy+c'(x)$
Per quanto riguarda il punto finale, ti ricordo che $cos\pi=-1$ e $sen\pi=0$.
Ahhh!! giustissimo! errori di distrazione! grazie mille
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