Minimizzare funzione

[fabyc1]

Ciao a tutti, sto provando a risolvere questo esercizio: data una scatola rettangolare con coperchio di volume $ 32 cm^3 $ , minimizzare la superficie laterale.
Allora io ho provato a risolverlo così: il volume è $ V=xyz $ dunque mi ricavo $ z=V/(xy) $ , siccome la superficie laterale la posso calcolare come $ Al=2*z*(x+y) $ inserendo il valore di z trovato prima mi trovo che la funzione da minimizzare è $ Al=2V/y+2V/x $ . Il problema a questo punto è che non riesco a minimizzarla, qualcuno mi può aiutare e dirmi se fin qui ho fatto giusto? Grazie mille a chi risponderà

[donald_zeka]

Non penso che questo esercizio abbia soluzione. Infatti la superficie laterale è data da :

$S(x,y)=2V(1/x+1/y)$

Se si prendono x e y grandi a piacere, poniamo $x=y=M$, allora si ha:

$S=(4V)/M$

Chiaramente S non ha minimo, né tantomeno massimo, dato che M può essere scelto grande a piacere.

[gugo82]

Come già osservato, il problema di minimo vincolato è il seguente:
\[
\begin{cases}
\text{minimizzare} &A(x,y,z) = 2z(x+y)\\
\text{con vincoli} &V(x,y,z) = xyz= 32\\
& x,y,z> 0
\end{cases}
\]
ed equivale al problema di minimo libero nel primo quadrante aperto:
\[
\begin{cases}
\text{minimizzare} &f(x,y) = 64\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\\
\text{con vincoli} & x,y> 0\; .
\end{cases}
\]
Tale problema non ha soluzione, perché se si prende $y=x$ e si manda $ x-> +oo$ si trova \(f(x,x)\to 0\).