Soluzione particolare equazione di Eulero

[Libero191]

Ciao a tutti! Non riesco a trovare la soluzione particolare di questa equazione differenziale:
$ y'' + (y')/x + y/(x^2) = logx/x $
Deve essere $x>0$ dunque poniamo $x=e^t$ cioè $t=logx$
$ y''(e^t) + (y'(e^t))/(e^t) + (y(e^t))/(e^(2t)) =t/(e^t) $
Adesso poniamo $z(t)=y(e^t)$
Svolgendo i vari calcoli trovo: $ (z''(t) - z'(t))/(e^(2t)) = -((z'(t))/(e^(2t))+ (z(t))/(e^(2t))) + t/(e^t) $
Quindi in definitiva: $ z''(t) + z(t)= t(e^t) $
Risolvo l'eq omogenea: $ z''(t) + z(t)= 0 => \lambda^2 + 1=0 => \lambda=+- i $
La soluzione dell'eq omogenea è : $ z(t) = c_1 cost +c_2 sent $

Arrivata a questo punto volevo trovare la sol particolare con il metodo del Wronskiano ma ho problemi nel trovare $c_1 , c_2$
$W(x)= [[cost,sent],[-sent,cost]]=1$
Troviamo ad esempio $c_1^{\prime}(t)= [[0,sent],[te^t,cost]] = -te^tsent $
integrando trovo: $c_1(t)= (e^t·((t - 1)·cos(t)/2 - t·(sen(t))/2))$

Dove sbaglio?? Grazie

[Libero191]

Se non erro il procedimento che ho fatto per trovare la soluzione omogenea è giusto..
In pratica mi sono resa conto di avere sbagliato il determinante della matrice, consideravo $1/x^2$ invece di $1/x$

Te ne sarei grata se potessi rispondermi ad un altro piccolo dubbio: devo studiare l'equazione solo nell'intervallo $]0,+oo[$ giusto?
Grazie mille x la risposta!

[Libero191]

Gentilissimo! gRazie