Analisi matematica di base
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Date due funzioni continue \(f,g : [a,b]\to\mathbb R\) tali che \(\forall x\in[a,b] : f(x) < g(x)\), è vero o non che esiste una decomposizione finita \(\overset{B_1}{[a,x_1]},\overset{B_2}{[x_1,x_2]},\dots, \overset{B_{n+1}}{[x_n,b]}\) con la proprietà che \(\max_{B_i} f < \min_{B_i} g\)?
Se no, come è fatto un controesempio?
Buonasera,
perché la seguente serie è indeterminata
$\sum_{n=1}^\infty {cos (pi/7)+i sin(pi/7)}^(n-1)$
Grazie
Buonasera a tutti,
Mi sono appena imbattuto in una pagina Wikipedia che utilizza la notazione del coefficiente binomiale per inserire due equazioni in una. Questa è la sezione: https://en.wikipedia.org/wiki/Pinhole_c ... ormulation
Poiché sto scrivendo la tesi di laurea e mi risulterebbe comodo usare questo tipo di notazione, volevo capire se fosse effettivamente accetata.
Buongiorno, mi potreste aiutare a stabilire il carattere della seguente serie al variare di $ainRR$?
$sum_{n=1}^(+oo) (n!)/(n+1)^(an)$
Io ho stabilito che se $a<=0$ la serie diverge perchè non vale la condizione necessaria, però resto bloccato al caso $a>0$: ho provato in questo caso ad applicare il criterio della radice e mi resta che:
$b_n=(a_n)^(1/n)~((n!)^(1/n))/n^a$.
Manipolandolo algebricamente ottengo.....
......$=e^(1/nlog(n!)-alog(n))$
ma a questo punto non riesco a concludere...
mi ...
Ciao a tutti, vorrei chiedere riguardo alla negazione della definizione di limite. La negazione della def. di limite è:
$EE epsilon_0$ $>0$ $tc$ $ $ $AA$ $delta >0$ $ $ $EE x_delta in X-{x_0}$ $ $ $tc$ $|x-x_0|<delta$ $ $ $e$ $ $ $|f(x)-l|>=epsilon_0$
dove $x_0$ è un punto di accumulazione per X, dominio della funzione ...
Salve.
Sia $ f(x) $ definita in un intorno di $ x=e $ ,derivabile due volte in $ x=e $ e t.c. $ f(e)=-1 , f'(e)=-2 , f''(e)=2 $ . Scrivere la formula di Taylor al secondo ordine centrata in 1 di $ h(x)=f(xe^x) $ .
Risolvendo con due metodi diversi trovo un risultato differente, anche se molto simile.
Metodo 1)
$ h(x)=h(1)+h'(1)(x-1)+ (h''(1))/2(x-1)^2+o((x-1)^2) $
$ h(1)=f(e)=-1 $
$ h'(1)=2ef'(e)=-4e $
$ h''(1)=4e^2f''(e)+3ef'(e)=8e^2-6e $
Sostituendo nella formula di Taylor
$ h(x)=-1-4e(x-1)+(4e^2-3e)(x-1)^2+o((x-1)^2) $
Metodo 2)
Sviluppo al ...
Come è estremamente noto, se $x!=0$, $x*y=x*z$ se e solo se $y=z$, con $x,y,z in RR$.
Mi è venuto un dubbio sulla dimostrazione di questa proposizione. Probabilmente sarà molto banale, però vorrei abituarmi a studiare con il massimo rigore possibile. Per dimostrare questa implicazione,
Ciao, devo risolvere questo limite usando gli o-piccoli (è un esercizio per fare pratica su questo argomento):
$ lim_(x->0+)(sinx+x*logx)/(tanx+x^2*logx $
So che $ sinx = @(x*logx) $ perché $ lim_(x->0^+)(sinx)/x*1/logx=0 $
e che $ x^2*logx=@(tanx) $ visto che $ lim_(x->0^+)x/tanx*x*logx = 0 $
Quindi ho sostituito nel limite di partenza e ho ottenuto che
$ lim_(x->0+)(sinx+x*logx)/(tanx+x^2*logx)=lim_(x->0^+)(@(x*logx)+x*logx)/(tanx+@(tanx))=lim_(x->0^+)(x*logx)/tanx $
Tuttavia anche questa è una forma indeterminata... Da qui non so più come andare avanti, tutte le idee che ho avuto mi riconducono comunque a forme indeterminate.
Avete ...
Ciao a tutti ho iniziato quest’anno il corso analisi matematica 2 e da poco abbiamo fatto le derivate parziali e le funzioni differenziabili. Ho una domanda su questo esercizio: data
$f(x,y)=\root(3){x^2(y-1)}+1$ devo provare che non è differenziabile in (0,1). La mia domanda non è tanto sulla risoluzione dell’esercizio ma più su un passaggio che non ho capito. Il mio prof ha prima calcolato le derivate parziali che vengono $f_x=1/3*1/root(3){(x^2(y-1))^2}*2x(y-1)$
$f_y=1/3*1/root(3){(x^2(y-1))^2}*x^2$ e queste non sono definite per x=0 e per y=1, ...
Salve, scrivo per un dubbio che non mi da pace: la seguente dimostrazione per induzione della disuguaglianza di Bernoulli va bene? Premetto che non ho avuto problemi a dimostrare la disuguaglianza ma non sono sicuro della sua correttezza. Riporto qui sotto la mia dimostrazione:
Dimostrare che: \[\forall n \in \mathbb{N} \quad (1+x)^n \geq 1+ nx \quad : \quad x \geq -1\]
Base induttiva: \[\begin{align*} &n = 0 \\ &(1+x)^0 \geq 1 + 0 \quad \rightarrow \quad 1 \geq 1 \end{align*}\]
Passo ...
Esiste una denominazione "ufficiale" per questo tipo di somma?
\(\displaystyle S=\sqrt{\sum \limits_{i=0}^{n-1} {a_i}^2}\)
Ciao a tutti, sono un vecchio laureato e nel tempo libero mi piace rivedere alcuni argomenti studiati in passato, in particolare quelli che all'epoca mi hanno dato più problemi.
Tra questi c'è il discorso della frontiera oreintata positivamente di un chiuso di $R^2$ come nelle ipotesi del teorema di Green.
La versione che trovo praticamente ovunque ossia del verso che corrisponde a lasciare a sinistra il chiuso, anche se ha il pregio di essere intuitiva, non mi convince e vorrei ...
Se volessi dimostrare che l'estremo superiore di ${a_n}$ è $1/9$, dove ${a_n} = (n+1)/(n^2+n+25)$, dovrei necessariamente usare la caratterizzazione del sup, cioè facendo vedere che $(n+1)/(n^2+n+25) >= 1/9$ e, preso $epsilon > 0$, $(n+1)/(n^2+n+25) >= 1/9 - epsilon/9$ per $n$ abbastanza grandi (prendo $epsilon/9$ solo per semplificarmi i calcoli)?
Mi sembra un modo un po' lungo di procedere, e mi chiedo se per fare questi esercizi ci siano strade più brevi.
Devo dire se questa funzione è crescente o decrescente in $A = (-oo, 1)-{a}$: $f(x) = 1/(x-a)^3$ $a in RR$. Non devo usare derivate o altro, perché è tratto dalle prime pagine del mio libro di analisi. Io ragionerei così: $x^3$ è crescente in tutto $RR$: $(x-a)^3$ è solo $x^3$ traslata verso destra di $a$, quindi anch'essa sarà crescente. In $(0,1) f(x)$ è anche positiva, quindi sono certo che in tale intervallo ...
Salve, mi aiutate per favore a studiare il carattere di questa serie?
$\sum_{n=2}^\infty\-ln(n^-3+n^-5+1)$
Scusate, ho un dubbio su questo esercizio:
consideriamo la funzione $f(x,y) = \log(r^2 + \sqrt(1 + r^4) ) + x + y$, con $r = \sqrt(x^2 + y^2)$.
L'esercizio chiede di trovare e classificare i punti stazionari della funzione.
La mia domanda è: dato che facendo le derivate rispetto ad x e y mi escono proprio orripilanti, c'è un modo più veloce / furbo per fare questo esercizio, o bisogna proprio piangere in aramaico e mettersi con la santa pazienza a fare tutti i conti?
Buongiorno a tutti. E' da qualche giorno che rifletto su un esercizio di Analisi 2, in particolare mi si chiede di, dopo aver trovato lo sviluppo in serie di Fourier della funzione $ f: (x-|x|)/2$ periodica di periodo $2\pi$ e definita nell'intervallo $[-\pi,\pi)$ , di utilizzare quest'ultima per dedurne la somma della serie numerica $\sum_{n=1}^infty 1/(2n+1)^2$.
Innanzitutto ho trovato lo sviluppo in serie di Fourier della funzione f cioè $-\pi/4 +\sum_{n=1}^infty (((-1)^n+1)/n^2*cos(nx)+ (-1)^(n+1)/n *sin(nx))$.
A questo punto so, che nei ...
Salve, in questi giorni mi stavo esercitando sui esercizi con i numeri complessi e mi son imbattuto in una equazione che non riesco a risolvere.
Questo è il testo:
$|z|z^2=-2\barz$
Avevo pensato di risolverlo con la forma trigonometrica: $ z=pe^(iθ)$
Ho riscritto il -2 come: $ w=2e^(i\pi)$
E quindi l'equazione mi veniva: $ p^3e^(2thetai)= 2pe^(i(\pi-theta))$
Ho trovato che una soluzione è p=0 e quindi z=0
Mi rimane $(p^2-2)=0$ per i moduli e quindi p=+-$sqrt(2)$
mentre per ...
Salve a tutti! Ho un piccolo dubbio in merito a questa dimostrazione, potreste guidarmi?
Vi ringrazio!
Teorema
Sia $\phi:[a,b]->RR^n$ di classe $C^1$ allora essa è rettificabile e la sua lunghezza vale: $L(\phi)=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$.
Dimostrazione: cominciamo con il provare che risulta
$l(P)<=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$ per ogni poligonale $P$ inscritta nella curva $\phi$ e determinata da una partizione $a=t_0<t_1<...<t_N=b$ di $[a,b]$.
infatti:
$l(P)=sum_(i=1)^N |\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|=sum_(i=1)^N |int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \phi^{\prime} (t)dt|<=sum_(i=1)^N int_{t_{i-1}}^{t_{i}} |\phi^{\prime} (t)|dt=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$.
quindi segue ...
Salve ragazzi, stavo vedendo questo esercizio, ovvero studiare la funzione sul triangolo di vertici (0,0) (0,1) (1,1)
In particolare ho problemi a studiare la funzione f(x,1) per il lato (0,1)-(1,1)
$ f(X,y)= 24x^4+3y^4-(x-y)^2 $
Non riesco a studiare la funzione per questo segmento, qualcuno ha qualche suggerimento ?
Vi ringrazio in anticipo
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