Chiarimento

[geovito]

Buonasera,
perché la seguente serie è indeterminata
$\sum_{n=1}^\infty {cos (pi/7)+i sin(pi/7)}^(n-1)$
Grazie

[Quinzio]

"vitus":Buonasera,
perché la seguente serie è indeterminata
$\sum_{n=1}^\infty {cos (pi/7)+i sin(pi/7)}^(n-1)$
Grazie

Per iniziare $ \sum_{n=1}^\infty {cos (pi/7)+i sin(pi/7)}^(n-1) = \sum_{n=0}^\infty {cos (pi/7)+i sin(pi/7)}^n$

Poniamo $z = cos (pi/7)+i sin(pi/7)$

$\sum_{n=0}^13 z^n = (1- z^14)/(1-z) = 0$

siccome $z^14 = 1 $ per formula di De Moivre https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_de_Moivre

Quindi
$\sum_{n=0}^\infty z^n = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^13 z^(14n+k) = \sum_{n=0}^\infty z^(14n) \sum_{k=0}^13 z^k = 0$

Abbiamo stabilito che esiste una sotto-successione della serie che e' sempre $0$.

Ma siccome, ad esempio per i termini con $k=1$, l'ultimo termine della serie e' diverso da $0$, si deduce che la serie deve oscillare tra $0$ e altri valori, e quindi e' indefinita.

[pilloeffe]

Ciao vitus,

Beh, perché posto $z := cos(pi/7)+i sin(pi/7) = e^{i \pi/7} $ e $j := n - 1 $ si tratta di una serie geometrica in $\CC $:

$\sum_{j = 0}^{+\infty} z^j $

Com'è noto la somma parziale di tale serie è $s_n = \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z} $ e non esiste il $\lim_{n \to +\infty} z^{n + 1} $