Funzioni crescenti/decrescenti
Devo dire se questa funzione è crescente o decrescente in $A = (-oo, 1)-{a}$: $f(x) = 1/(x-a)^3$ $a in RR$. Non devo usare derivate o altro, perché è tratto dalle prime pagine del mio libro di analisi. Io ragionerei così: $x^3$ è crescente in tutto $RR$: $(x-a)^3$ è solo $x^3$ traslata verso destra di $a$, quindi anch'essa sarà crescente. In $(0,1) f(x)$ è anche positiva, quindi sono certo che in tale intervallo $1/(x-a)^3$ sarà decrescente.
Però le soluzioni sono che è strettamente decrescente per $a>=1$, non monotona per $a<1$. Come faccio a rendermi conto di ciò?
Però le soluzioni sono che è strettamente decrescente per $a>=1$, non monotona per $a<1$. Come faccio a rendermi conto di ciò?
Risposte
Il problema è che se $a<1$ la funzione ha un buco nel dominio $A=(-oo, a) uu(a,1)$ e, quindi, non può essere definita decrescente. I due rami, separatamente, saranno decrescenti, ma non la funzione.
Ok, non mi è molto chiaro il perché, se la funzione ha un buco nel dominio (nel caso a<1), non sia decrescente, ma spero di arrivarci tra poco.
Ah beh $1/(x-a)^3$ è un' iperbole (almeno credo, le ho studiate solo nella forma col denominatore di primo grado) è chiaro che, nel complesso, non sia monotona.
Ah beh $1/(x-a)^3$ è un' iperbole (almeno credo, le ho studiate solo nella forma col denominatore di primo grado) è chiaro che, nel complesso, non sia monotona.
"HowardRoark":
Ok, non mi è molto chiaro il perché, se la funzione ha un buco nel dominio (nel caso a<1), non sia decrescente, ma spero di arrivarci tra poco.
Provato a fare un grafico di massima?
Dovresti saperlo fare dalle scuole superiori e guardandolo ti si chiarirebbero le cose.
Sono le prime pagine di un libro di analisi, non vedo perché si presuppone che debba essere in grado di fare il grafico di questa funzione. Secondo me devo rispondere al quesito solo usando quelle poche cose che vengono trattate prima. Per ora mi viene in mente solo di sfruttare il fatto che il reciproco di una funzione positiva e crescente è una funzione decrescente, e cioè che, se $a<1$, per $x in (a,1)$ quella funzione è decrescente.
Mi spiego meglio. Io lo so tracciare il grafico di una funzione del tipo $1/(x-a)^3$. Parto da $x^3$. Le equazioni della traslazione di vettore $v(a,b)$ di una funzione sono queste:
$\{(x'=x+a), (y'=y+b) :}$. Nel mio caso $\{(x'=x+a), (y'=y) :}$, quindi, sostituendo in $y=x^3$:
$y'=(x'-a)^3$, levando gli apici $y=(x-a)^3$.
Passando al reciproco, visto che $(x-a)^3$ interseca l'asse $x$ in $x=a$ (in questo caso $a$ non appartiene al dominio, lo considero giusto per tracciare meglio il grafico), il valore del reciproco sarà:
1) positivo e con valori sempre più grandi man mano che $x$ si avvicina ad $a$ se $f(x) >0$ (cioè se $x in (a,1)$, con $x$ molto vicino ad $a$)
2) negativo e con valori sempre più grandi man mano che $x$ si avvicina ad $a$ se $f(x)<0$ (cioè se $x in (-oo,a)$, con $x$ molto vicino ad $a$).
poi $(x-a)^3$ va a $+oo$ per $x->+oo$, quindi il reciproco tenderà a $0$ per $x->+oo$; $(x-a)^3$ va a $-oo$ se $x->-oo$, quindi, per $x->-oo$, il reciproco tenderà sempre a $0$.
Il fatto è che non credo siano queste le considerazioni che devo fare. Il punto non è risolvere l'esercizio, ma capire e applicare quello che ho già studiato dal libro, altrimenti come esercizio non avrebbe senso, cioè sarebbe un ripasso di cose già note dalle superiori, ma non credo sia il contesto adatto.
$\{(x'=x+a), (y'=y+b) :}$. Nel mio caso $\{(x'=x+a), (y'=y) :}$, quindi, sostituendo in $y=x^3$:
$y'=(x'-a)^3$, levando gli apici $y=(x-a)^3$.
Passando al reciproco, visto che $(x-a)^3$ interseca l'asse $x$ in $x=a$ (in questo caso $a$ non appartiene al dominio, lo considero giusto per tracciare meglio il grafico), il valore del reciproco sarà:
1) positivo e con valori sempre più grandi man mano che $x$ si avvicina ad $a$ se $f(x) >0$ (cioè se $x in (a,1)$, con $x$ molto vicino ad $a$)
2) negativo e con valori sempre più grandi man mano che $x$ si avvicina ad $a$ se $f(x)<0$ (cioè se $x in (-oo,a)$, con $x$ molto vicino ad $a$).
poi $(x-a)^3$ va a $+oo$ per $x->+oo$, quindi il reciproco tenderà a $0$ per $x->+oo$; $(x-a)^3$ va a $-oo$ se $x->-oo$, quindi, per $x->-oo$, il reciproco tenderà sempre a $0$.
Il fatto è che non credo siano queste le considerazioni che devo fare. Il punto non è risolvere l'esercizio, ma capire e applicare quello che ho già studiato dal libro, altrimenti come esercizio non avrebbe senso, cioè sarebbe un ripasso di cose già note dalle superiori, ma non credo sia il contesto adatto.
La Matematica non si fa così, a capitoli... Nulla si fa così nella vita, niente si apprende così.
Quando sei entrato a scuola sapevi già qualcosa ed hai sfruttato quello che già sapevi per costruire il resto.
Perché adesso vorresti cominciare a fare altrimenti?
Detto ciò, il problema che devi porti è un altro, ossia:
Questo è un approccio corretto, perché ti sfida a fare quello che senti giusto sprecando minori risorse possibili.
In particolare, guardando il grafico, ti rendi conto del fatto che quando $a<1$, la tua funzione assume valori positivi per $af(x_1)$ e questo ti mostra che la funzione non può essere crescente.
Congettura + controesempio: è una tecnica che cerco di insegnare ai ragazzi di primo scientifico.
Quando sei entrato a scuola sapevi già qualcosa ed hai sfruttato quello che già sapevi per costruire il resto.
Perché adesso vorresti cominciare a fare altrimenti?
Detto ciò, il problema che devi porti è un altro, ossia:
Capito -in un modo o in un altro- che le cose vanno effettivamente così, come faccio ad incasellarlo in un quadro teorico minimale?
Questo è un approccio corretto, perché ti sfida a fare quello che senti giusto sprecando minori risorse possibili.
In particolare, guardando il grafico, ti rendi conto del fatto che quando $a<1$, la tua funzione assume valori positivi per $a
Congettura + controesempio: è una tecnica che cerco di insegnare ai ragazzi di primo scientifico.
"gugo82":$x_2=a-2$ e $x_1 = a-1$? Tanto uno vale l'altro, dato che per $-oo
(quali? Come li scegli?)
"HowardRoark":$x_2=a-2$ e $x_1 = a-1$? Tanto uno vale l'altro, dato che per $-oo
[quote="gugo82"](quali? Come li scegli?)
"HowardRoark":
Comunque, una volta che ho fatto il grafico per me l'esercizio è concluso, cioè vedo ad occhio quali sono i casi in cui la funzione è decrescente e quali non è monotona, per questo cercavo di evitare questo approccio. Però ora stare a pensare a come l'autore voleva che risolvessi l'esercizio mi sembra una perdita di tempo, quindi meglio passare oltre.
Eh, no.
Formalizzare il ragionamento nell'ambito del quadro teorico di riferimento non è mai una perdita di tempo, perché questo è ciò che un qualsiasi scienziato (con tutte le sfumature che vuoi dare alla parola) deve saper fare.
Insomma, non basta risolvere l'esercizio; bisogna farlo anche con un ragionamento corretto e formalizzato sfruttando le nozioni note.
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