\(\max_{B_i} f < \min_{B_i} g\) su una decomposizione abbastanza fine dei domini

[megas_archon]

Date due funzioni continue \(f,g : [a,b]\to\mathbb R\) tali che \(\forall x\in[a,b] : f(x) < g(x)\), è vero o non che esiste una decomposizione finita \(\overset{B_1}{[a,x_1]},\overset{B_2}{[x_1,x_2]},\dots, \overset{B_{n+1}}{[x_n,b]}\) con la proprietà che \(\max_{B_i} f < \min_{B_i} g\)?

Se no, come è fatto un controesempio?

[Lebesgue]

Beh direi che è vero, prendendo come decomposizione finita l'intervallo stesso (è decomposto in zero pezzi).

Ti rispondo così, perché la domanda che hai posto può essere interpretata in 2 modi:

1) Date $f,g: [a,b] \to \RR$ continue, è vero che esiste $n \in \NN$ tale che posso decomporre $[a,b]$ in $n$ sottointervalli chiusi, in modo che su ognuno di essi si abbia $\max f < \min g$?

2)Date $f,g: [a,b] \to \RR$ continue, è vero che per ogni $n \in \NN$ posso decomporre $[a,b]$ in $n$ sottointervalli chiusi, tali che su ognuno di essi si abbia $\max f < \min g$?

[megas_archon]

L'interpretazione è la 1.

"Lebesgue":Beh direi che è vero, prendendo come decomposizione finita l'intervallo stesso (è decomposto in zero pezzi).

No, chiaramente può essere che \(f < g\) con il massimo di $f$ strettamente maggiore del minimo di $g$. Per esempio, che ne so, \(f(t) = \cos(t), g(t)=\cos t+\frac 1{10}\) su $[0,\pi]$. \(\max f \) (che è positivo) è maggiore di \(\min g\) (che è negativo).

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Mi sembra che questo argomento funzioni. Definiamo $I=[a,b]$ e fissiamo $t in I$. Definiamo $I_n = I nn (t-1/n,t+1/n)$ per ogni $n in NN_(ge 1)$. Se per ogni $n ge 1$ esistono $a_n,b_n in I_n$ tali che $f(a_n) ge g(b_n)$ allora facendo il limite per $n to oo$, siccome $a_n$ e $b_n$ tendono a $t$ e $f,g$ sono continue, otteniamo $f(t) ge g(t)$, che è falso per ipotesi. Quindi deve esistere $n_t in NN$ tale che nell'intervallo $J_t = I_(n_t)$ il massimo di $f$ è minore del minimo di $g$. Ora l'unione dei $J_t$ è uguale ad $I$, che è compatto, quindi esistono $t_1,...,t_k in I$ tali che $J_(t_1) uu ... uu J_(t_k) = I$. Da qui è facile dedurne una decomposizione in intervalli chiusi disgiunti, basta ridefinire gli intervalli scegliendo i nuovi estremi dentro all'intersezione di due intervalli aperti consecutivi.

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Se prendi la mappa \( h: [a,b]^2 \to \mathbb{R} \) definita da \( (x,y) \mapsto g(x) - f(y) \) hai che \( h(x,x) > 0 \) per ogni \( x \in (a,b)\); allora \( h(x,y) > 0 \) per ogni \( (x,y) \in B_r (x,x)\) con \( r = r(x,x)\). Si riesce a concluderne qualcosa per compattezza della diagonale?

[Lebesgue]

"megas_archon":L'interpretazione è la 1.[quote="Lebesgue"]Beh direi che è vero, prendendo come decomposizione finita l'intervallo stesso (è decomposto in zero pezzi).

No, chiaramente può essere che \(f < g\) con il massimo di $f$ strettamente maggiore del minimo di $g$. Per esempio, che ne so, \(f(t) = \cos(t), g(t)=\cos t+\frac 1{10}\) su $[0,\pi]$. \(\max f \) (che è positivo) è maggiore di \(\min g\) (che è negativo).[/quote]

Ti chiedo scusa, nonostante avessi capito cosa chiedessi, il mio cervello ha interpretato: $\max f < \max g$ e quindi ho dato una risposta sciocca.

[otta96]

$g-f$ ha minimo realizzato e quindi positivo, $a$. Per l'uniforme continuità esiste $\delta>0$ tale che se $|x-y|<\delta$ si ha $|f(x)-f(y)|1/\delta$, in ogni intervallo $I$ della partizione uniforme in $n$ intervalli, vale $\max_If-\min_If

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