Esercizio sulle successioni

[HowardRoark]

Se volessi dimostrare che l'estremo superiore di ${a_n}$ è $1/9$, dove ${a_n} = (n+1)/(n^2+n+25)$, dovrei necessariamente usare la caratterizzazione del sup, cioè facendo vedere che $(n+1)/(n^2+n+25) >= 1/9$ e, preso $epsilon > 0$, $(n+1)/(n^2+n+25) >= 1/9 - epsilon/9$ per $n$ abbastanza grandi (prendo $epsilon/9$ solo per semplificarmi i calcoli)?
Mi sembra un modo un po' lungo di procedere, e mi chiedo se per fare questi esercizi ci siano strade più brevi.

[HowardRoark]

Lo stesso discorso vale anche per dimostrare che l'inf di quella successione è 0 (senza usare i limiti). Far vedere che quella successione è sempre $>0$ è banale, poi però occorre dimostrare che, da un certo $n$ in poi, è minore di $epsilon$, ed io ho trovato che ciò accade per $n>(1/epsilon - 1) + sqrt(((1-epsilon)/epsilon)^2 - 25(4-1/epsilon))/2$, però gestire tutte queste parentesi lo trovo un po' tedioso.

[gabriella127]

"HowardRoark":Se volessi dimostrare che l'estremo superiore di $ {a_n} $ è $ 1/9 $, dove $ {a_n} = (n+1)/(n^2+n+25) $

Nel caso del \( \sup \) , una volta dimostrato che $(n+1)/(n^2+n+25) <= 1/9 $, $\forall n$, mi sembra facile, perché il \( \sup \) è raggiunto, è un massimo, per $n=4$.

[HowardRoark]

"gabriella127":
Nel caso del \( \sup \) , una volta dimostrato che $ (n+1)/(n^2+n+25) <= 1/9 $, $ \forall n $

Ma questa non ti dice soltanto che $1/9$ è un maggiorante? Per dimostrare che quello è il sup non occorre anche risolvere la disequazione con $epsilon$?
Però forse siccome l'espressione al primo membro è uguale a quella del secondo per $n=4$, ciò dimostra pure che $1/9$ è il massimo della successione.
In questo caso, dimostrare che l'inf è $0$ senza usare i limiti è senza dubbio più complesso, perché $a_n != 0 AAn$. Mi viene in mente solo la caratterizzazione dell'estremo inferiore ma in questo caso fa abbastanza schifo.
Va be' userò i limiti e non ci penserò più. Perché con i limiti basta dimostrare che quella successione è decrescente per $n>4$ per convincersi che inf ${a_n} = 0$.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"HowardRoark":$(n+1)/(n^2+n+25) >= 1/9 - epsilon/9$ per $n$ abbastanza grandi

Non è questo che devi mostrare, cioè quella disuguaglianza non deve valere "per $n$ abbastanza grandi". Deve valere per almeno un $n$. Come ha detto Gabriella, se metti $n=4$ ottieni $1/9$, che è ovviamente maggiore di $1/9-epsilon/9$ e quindi hai finito.

Per quanto riguarda l'inf, se non vuoi usare i limiti devi per forza fare i conti che hai fatto, non credo se ne esca in altro modo.

[HowardRoark]

Però, se $1/9$ non fosse appartenuto alla successione, avrei dovuto usare la caratterizzazione del sup, che equivale a dover
risolvere una disequazione in $n$ rispetto ad $epsilon$: e allora avrei trovato che, posto $1/9$ sup della successione, da un certo $n$ in poi $|a_n-1/9|

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[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Sì, quello che dici è sostanzialmente giusto, nel caso in cui il sup non appartiene all'insieme. Tuttavia (come hai visto in questo esempio) è fuorviante pensare di dover mostrare che la disuguaglianza vale "da un certo $n$ in poi". Devi mostrare che quella disuguaglianza è verificata per almeno un $n$. Poi se vale per "$n$ abbastanza grande" tanto meglio.

[gugo82]

@HowardRoark: Trovati un buon testo di Analisi I. Questi sono fatti e definizioni di base.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Mi è venuto in mente adesso che non è vero questo:

"HowardRoark":Però, se $1/9$ non fosse appartenuto alla successione, avrei dovuto usare la caratterizzazione del sup, che equivale a dover
risolvere una disequazione in $n$ rispetto ad $epsilon$: e allora avrei trovato che, posto $1/9$ sup della successione, da un certo $n$ in poi $|a_n-1/9|

No, non è vero. Per esempio considera la successione

$a_n=0$ se $n$ è pari
$a_n=1-1/n$ se $n$ è dispari

In altre parole

$a_n= 1/2 (1-(-1)^n)(1-1/n)$

Il sup dell'insieme degli $a_n$ vale $1$ ma la disuguaglianza $|a_n-1|

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[HowardRoark]

Ok, ma allora la caratterizzazione del sup vale solo se la successione ha un limite? Che confusione

[HowardRoark]

"gugo82":@HowardRoark: Trovati un buon testo di Analisi I. Questi sono fatti e definizioni di base.

Non credo dipenda dal testo, è la matematica che ti obbliga a fare mille riflessioni quando svolgi gli esercizi.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"HowardRoark":Ok, ma allora la caratterizzazione del sup vale solo se la successione ha un limite? Che confusione

Ma no, cosa dici? La caratterizzazione del sup vale in tutti i casi. Solo che (dato $epsilon>0$) la disuguaglianza $a_n>s-epsilon$ non la devi verificare per "$n$ abbastanza grande", devi semplicemente mostrare che esiste un $n$ che la soddisfa.

[HowardRoark]

Ok, ora è più chiaro. Grazie per il controesempio!

[gabriella127]

"HowardRoark":[quote="gugo82"]@HowardRoark: Trovati un buon testo di Analisi I. Questi sono fatti e definizioni di base.

Non credo dipenda dal testo, è la matematica che ti obbliga a fare mille riflessioni quando svolgi gli esercizi.[/quote]

"Martino":[quote="HowardRoark"]Ok, ma allora la caratterizzazione del sup vale solo se la successione ha un limite? Che confusione

Ma no, cosa dici? La caratterizzazione del sup vale in tutti i casi.[/quote]
Posso darti un consiglio, scusa se mi permetto, come rimedio contro la confusione?
Prima cosa, non andare di fretta, prima di fare gli esercizi, rileggi la teoria che riguarda il \(\sup\) sul libro, e imparala, impara a recitarla a memoria come fosse il rosario (ovviamente capendo, ma cura l'aspetto 'rosario', ché quando uno prova a ridire le cose si accorge dove ha difficoltà). Con ordine e disciplina ferrea militare , non sono consentite imprecisioni e impappinamenti.
Poi torni agli esercizi. Va bene che gli esercizi illuminano la teoria, ma bisogna anche arrivarci un minimo teoricamente 'attrezzati'.

[gugo82]

"HowardRoark":Ok, ma allora la caratterizzazione del sup vale solo se la successione ha un limite? Che confusione

La confusione c'è perché non hai capito la definizione di estremo superiore e le sue proprietà.
Prova a riportarle ed a spiegarle.

[HowardRoark]

Ora sono fuori casa, perdonami se non scrivo in termini formali, ma sono certo che il concetto di sup possa essere definito così: y è il sup di una funzione $ f: X sube RR -> RR$ se e solo se
1) y è un maggiorante dell' insieme immagine
2) per ogni $epsilon>0$ esiste un $x in X$ tale per cui $y

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[HowardRoark]

Più che altro la cosa particolare era questa: ovviamente una successione può oscillare, ad esempio tra 0 e 2, e in questo caso il sup coinciderebbe col max. Se poi per ipotesi la funzione non avesse avuto massimo, io pensavo che la disuguaglianza nella definizione del sup si sarebbe potuta applicare "da un certo n in poi", mentre non è vero neanche questo, perché Martino mi ha riportato un controesempio di una successione che oscilla e che non ha massimo.

[HowardRoark]

"gabriella127":
Posso darti un consiglio, scusa se mi permetto, come rimedio contro la confusione?
Prima cosa, non andare di fretta, prima di fare gli esercizi, rileggi la teoria che riguarda il \(\sup\) sul libro, e imparala, impara a recitarla a memoria come fosse il rosario (ovviamente capendo, ma cura l'aspetto 'rosario', ché quando uno prova a ridire le cose si accorge dove ha difficoltà). Con ordine e disciplina ferrea militare , non sono consentite imprecisioni e impappinamenti.
Poi torni agli esercizi. Va bene che gli esercizi illuminano la teoria, ma bisogna anche arrivarci un minimo teoricamente 'attrezzati'.

Già credo di farlo, anzi, ogni tanto penso di passare troppo tempo a leggere la teoria facendo pochi esercizi. Questo mio metodo ha funzionato per tanti esami precedenti che ho fatto (anche per quello di matematica ad economia), ma questa volta ho l' impressione che se non mi imparo a svolgere esercizi sempre più complessi (non le cavolate come questa che ho riportato qui), al compito non tocco proprio palla.

[axpgn]

Scusa una domanda: non stavi ad Economia?

[gabriella127]

Figurati, solo tu puoi giudicare il tuo metodo di studio e adattarlo alle tue esigenze..
Avevo l'impressione che delle difficoltà derivassero dal fatto di non avere presente aspetti di teoria, per la fretta di andare avanti presto con gli esercizi. Capisco che c'è l'incombenza dello scritto.

Ad esempio, sopra hai dato la definizione di \(\sup\) per funzioni, ma la definizione di \(\sup\) è per insiemi qualsiasi di reali, l'immagine di una funzione è un insieme di reali come un altro.
Se vedi le definizioni, come funziona e qual è il senso della caratterizzazione del \(\sup\) per insiemi di reali qualsiasi, non ti confondi, non sei indotto a pensare che c'entri qualcosa il limite o 'per $n$ abbastanza grande'.

Eventualmente, posta qui la definizione che ti hanno dato di \(\sup\), ci sono illustri matematici qui che meglio di me ti possono dare consigli.

[HowardRoark]

"axpgn":Scusa una domanda: non stavi ad Economia?

Sì, ma vorrei laurearmi anche in matematica. All'inizio l'idea era solo quella di fare un paio di esami ma ehi, perché non provarci?