Limite calcolato usando gli o-piccoli

[darmmm]

Ciao, devo risolvere questo limite usando gli o-piccoli (è un esercizio per fare pratica su questo argomento):

$ lim_(x->0+)(sinx+x*logx)/(tanx+x^2*logx $

So che $ sinx = @(x*logx) $ perché $ lim_(x->0^+)(sinx)/x*1/logx=0 $

e che $ x^2*logx=@(tanx) $ visto che $ lim_(x->0^+)x/tanx*x*logx = 0 $

Quindi ho sostituito nel limite di partenza e ho ottenuto che

$ lim_(x->0+)(sinx+x*logx)/(tanx+x^2*logx)=lim_(x->0^+)(@(x*logx)+x*logx)/(tanx+@(tanx))=lim_(x->0^+)(x*logx)/tanx $

Tuttavia anche questa è una forma indeterminata... Da qui non so più come andare avanti, tutte le idee che ho avuto mi riconducono comunque a forme indeterminate.
Avete qualche suggerimento?

[pilloeffe]

Ciao darmmm,

"darmmm":[...]$\lim_{x \to 0^+}(x \cdot logx)/tanx $

Tuttavia anche questa è una forma indeterminata...

Beh no, quel limite risulta $- \infty $, infatti si ha:

$ \lim_{x \to 0^+}(x \cdot logx)/tanx = \lim_{x \to 0^+}x/tanx \cdot logx = \lim_{x \to 0^+}(cos x)/(sin x/x) \cdot logx = 1/1 \cdot (-\infty) = - \infty $

Personalmente avrei risolto il limite proposto con un semplice raccoglimento di $x$ a numeratore e a denominatore, tenendo conto che, come dovrebbe esserti ben noto, $\lim_{x \to 0^+}x logx = 0 $:

$\lim_{x \to 0^+} (sinx+x \cdot logx)/(tanx+x^2\cdot logx) = \lim_{x \to 0^+} (sinx/x+ logx)/(tanx/x +x logx) = (1+ (-\infty))/(1 + 0) = -\infty $

[darmmm]

Grazie mille pilloeffe, non lo avevo proprio notato. Grazie mille anche per il consiglio su come risolverlo senza o-piccolo!