Funzioni regolari a tratti e limite della derivata
Ho un dubbio sulla definizione di funzione regolare a tratti.
def(funzione regolare a tratti):
<< una funzione si dice regolare a tratti se , considerata f definita in $[0,T]$
1. f è limitata in $[0,T]$
2. quest' Intervallo può essere suddiviso in diversi sotto-Intervalli $(a_i,b_i)$ tali che:
in ciascuno di essi la funzione è continua e derivabile
3. ed inoltre, negli estremi degli Intervallini , esistono finiti limite $x-->a_i^+$ e per $x-->b_i^-$ di $f$ e di $f'$
>>
Fonte: Bramanti- analisi 2
Quello che non mi è chiaro è che:
Scenario A
Se gli Intervallini li individuo perché nell' Intervallo $[0,T]$ mi sono capitati dei punti di discontinuità di salto ( e quindi perché mi è capitato un punto $x_0$ in cui la funzione non era continua)
Allora
DOMANDA 1A:
la verifica che esiste finito il limite destro ed il limite sinistro di $f'$ , la devo andare a fare utilizzando la definizione di derivata destra e sinistra (o meglio di quelle che il testo chiama "pseudo derivate destre e sinistre" perché non ho $f(x_0)$ ma ho $f(x_0^+-)$) :
$f'(x_0^+)=lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0^+))/(x-x_0) in R$ ??
Scenario B
Se invece, io ho una funzione che è continua in $[0,T]$ però presenta dei punti di non derivabilità (ad es.in $x_0$ ho una cuspide).
DOMANDA 1B.
io posso individuare gli intervallini $[0,x_0]U[x_0,T]$ e provare a verificare che la funzione sia regolare su questi intervallini oppure devo concludere che la funzione non può essere regolare a tratti (e di conseguenza quella f(x) non potrà mai essere la somma di una serie di fourier) ?
DOMANDA 2B.
Restando nello Scenario B , ed assunto di aver preso gli intervallini nel modo di domanda1 .
Mi confermate che: se volessi sostituire al calcolo della derivata destra in $x_0$
il calcolo del limite destro della funzione: derivata prima $lim _(x-->x_0^+) f(x)$,
nonostante siamo nell'ipotesi che $f(x)$ è continua in $x_0$ ,
dovrei comunque verificare che: la funzione è derivabile alla destra di $x_0$
e cioè comunque calcolare il limite : $f'(x_0^+)=lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) in R$ ?
(come indicato in questo teorema: https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?p=685139#p685139 )
Domanda3.
è corretta la definizione data a lezione:
<< una funzione si dice "regolare a tratti" in un Intervallo $[0,T]$
se i punti di discontinuità che io rilevo in quell'Intervallo sono soltanto discontinuità di salto
e
non abbiamo ne' asintoti verticali ne' punti di non derivabilità ( flessi a tg verticale, punti angolosi,cuspidi)>>
Chiedo perché non mi sembra corretta, in quanto una definizione del genere porterebbe a dire che:
" qualora la funzione presenta un punto di non derivabilità in $[0,T]$, questa non può essere regolare a tratti"
Invece, ho visto che una possibile definizione equivalente è quella secondo cui:
<< f è regolare a tratti se:
1. f è continua a tratti
2. è derivabile tranne che in un numero finito di punti
3. nei punti in cui non è derivabile , esistono le derivate laterali
4. ed f' (definita a piacere dove f non è derivabile) è continua a tratti >>
Fonte: Sergio Lancelotti - analisi matematica 2
def(funzione regolare a tratti):
<< una funzione si dice regolare a tratti se , considerata f definita in $[0,T]$
1. f è limitata in $[0,T]$
2. quest' Intervallo può essere suddiviso in diversi sotto-Intervalli $(a_i,b_i)$ tali che:
in ciascuno di essi la funzione è continua e derivabile
3. ed inoltre, negli estremi degli Intervallini , esistono finiti limite $x-->a_i^+$ e per $x-->b_i^-$ di $f$ e di $f'$
>>
Fonte: Bramanti- analisi 2
Quello che non mi è chiaro è che:
Scenario A
Se gli Intervallini li individuo perché nell' Intervallo $[0,T]$ mi sono capitati dei punti di discontinuità di salto ( e quindi perché mi è capitato un punto $x_0$ in cui la funzione non era continua)
Allora
DOMANDA 1A:
la verifica che esiste finito il limite destro ed il limite sinistro di $f'$ , la devo andare a fare utilizzando la definizione di derivata destra e sinistra (o meglio di quelle che il testo chiama "pseudo derivate destre e sinistre" perché non ho $f(x_0)$ ma ho $f(x_0^+-)$) :
$f'(x_0^+)=lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0^+))/(x-x_0) in R$ ??
Scenario B
Se invece, io ho una funzione che è continua in $[0,T]$ però presenta dei punti di non derivabilità (ad es.in $x_0$ ho una cuspide).
DOMANDA 1B.
io posso individuare gli intervallini $[0,x_0]U[x_0,T]$ e provare a verificare che la funzione sia regolare su questi intervallini oppure devo concludere che la funzione non può essere regolare a tratti (e di conseguenza quella f(x) non potrà mai essere la somma di una serie di fourier) ?
DOMANDA 2B.
Restando nello Scenario B , ed assunto di aver preso gli intervallini nel modo di domanda1 .
Mi confermate che: se volessi sostituire al calcolo della derivata destra in $x_0$
il calcolo del limite destro della funzione: derivata prima $lim _(x-->x_0^+) f(x)$,
nonostante siamo nell'ipotesi che $f(x)$ è continua in $x_0$ ,
dovrei comunque verificare che: la funzione è derivabile alla destra di $x_0$
e cioè comunque calcolare il limite : $f'(x_0^+)=lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) in R$ ?
(come indicato in questo teorema: https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?p=685139#p685139 )
Domanda3.
è corretta la definizione data a lezione:
<< una funzione si dice "regolare a tratti" in un Intervallo $[0,T]$
se i punti di discontinuità che io rilevo in quell'Intervallo sono soltanto discontinuità di salto
e
non abbiamo ne' asintoti verticali ne' punti di non derivabilità ( flessi a tg verticale, punti angolosi,cuspidi)>>
Chiedo perché non mi sembra corretta, in quanto una definizione del genere porterebbe a dire che:
" qualora la funzione presenta un punto di non derivabilità in $[0,T]$, questa non può essere regolare a tratti"
Invece, ho visto che una possibile definizione equivalente è quella secondo cui:
<< f è regolare a tratti se:
1. f è continua a tratti
2. è derivabile tranne che in un numero finito di punti
3. nei punti in cui non è derivabile , esistono le derivate laterali
4. ed f' (definita a piacere dove f non è derivabile) è continua a tratti >>
Fonte: Sergio Lancelotti - analisi matematica 2
Risposte
Sintesi:
Negli estremi degli intervallini devo calcolare "il limite della derivata" (da destra e da sinistra)
oppure
devo calcolare "la derivata laterale" (destra o sinistra) ??
La def. del bramanti mi porta a calcolare $lim_(x-->x_0^+) f'(x)$
La def. del Lancelotti mi porta a calcolare $lim_(x-->x_0^+) (f(x)-f(x_0^+))/(x-x_0)$
Quale devo calcolare?
Negli estremi degli intervallini devo calcolare "il limite della derivata" (da destra e da sinistra)
oppure
devo calcolare "la derivata laterale" (destra o sinistra) ??
La def. del bramanti mi porta a calcolare $lim_(x-->x_0^+) f'(x)$
La def. del Lancelotti mi porta a calcolare $lim_(x-->x_0^+) (f(x)-f(x_0^+))/(x-x_0)$
Quale devo calcolare?
Ciao CallistoBello,
Nel merito non ti aveva già risposto ViciousGoblin in questo thread?
Comunque sostanzialmente, come dice la locuzione "funzione continua a tratti" significa che ci sono dei tratti, cioè dei sottointervalli nell'intervallo di definizione $[0, T]$, nei quali la funzione è continua. Poi cosa accade agli estremi dei diversi tratti (sottointervalli) dipende appunto dalla definizione che ti è stata data.
Nel merito non ti aveva già risposto ViciousGoblin in questo thread?
Comunque sostanzialmente, come dice la locuzione "funzione continua a tratti" significa che ci sono dei tratti, cioè dei sottointervalli nell'intervallo di definizione $[0, T]$, nei quali la funzione è continua. Poi cosa accade agli estremi dei diversi tratti (sottointervalli) dipende appunto dalla definizione che ti è stata data.
Il problema è che me ne sono state date due a lezione, che però mi portano a due calcoli diversi.
1)
La prima è appunto quella del bramanti.
Poco dopo però mi si dice:
2)
<< le funzioni regolari a tratti sono:
le funzioni che sono
1. C1 su "pezzetti" dell'Intervallo
2. e nei punti di incontro tra gli intervallini , deve accadere che:
"posso definire sia la derivata destra che la derivata sinistra, sia la funzione a destra sia la funzione a sinistra "
e questi limiti devono essere finiti >>
Ora , la 1) mi porta a calcolare il limite "da destra\sinistra" di $f'(x)$
che però non è la derivata destra\sinistra
la 2) invece mi porta a calcolare il limite di quel rapporto con $x_0$ estremo del sottointervallo $(a_i,b_i)$
Però , riflettendo sulla definizione del bramanti , mi chiedo:
DOM: nella condizione 2. , mi chiede di decomporre l'intervallo di partenza in un numero finito di sottointervalli in cui la funzione è continua e derivabile.
Però non specifica se devo verificare o meno l'esistenza della derivata destra o sinistra negli estremi di questi sottointervalli. Sta dando per scontato che li devo verificare?
DOM: perché ,come condizione 3., mi chiede di calcolarmi il limite da destra o sinistra della derivata?
1)
La prima è appunto quella del bramanti.
Poco dopo però mi si dice:
2)
<< le funzioni regolari a tratti sono:
le funzioni che sono
1. C1 su "pezzetti" dell'Intervallo
2. e nei punti di incontro tra gli intervallini , deve accadere che:
"posso definire sia la derivata destra che la derivata sinistra, sia la funzione a destra sia la funzione a sinistra "
e questi limiti devono essere finiti >>
Ora , la 1) mi porta a calcolare il limite "da destra\sinistra" di $f'(x)$
che però non è la derivata destra\sinistra
la 2) invece mi porta a calcolare il limite di quel rapporto con $x_0$ estremo del sottointervallo $(a_i,b_i)$
Però , riflettendo sulla definizione del bramanti , mi chiedo:
DOM: nella condizione 2. , mi chiede di decomporre l'intervallo di partenza in un numero finito di sottointervalli in cui la funzione è continua e derivabile.
Però non specifica se devo verificare o meno l'esistenza della derivata destra o sinistra negli estremi di questi sottointervalli. Sta dando per scontato che li devo verificare?
DOM: perché ,come condizione 3., mi chiede di calcolarmi il limite da destra o sinistra della derivata?
La condizione di esistenza del limite da destra o da sinistra della derivata è più forte dell'esistenza del limite destro o sinistro del rapporto incrementale, anche unito alla continuità (globale o da destra/sinistra) della funzione nel punto che ti interessa.
Ad esempio, studia il comportamento della funzione:
$f(x):= \{ (-1, ", se " x<=0), (sin(1/x), ", se " x>0):}$.
Comunque, la risposta è: non esiste "la" definizione, ma ci sono "alcune" definizioni di funzioni regolari a tratti; scegli quella che serve per sviluppare la teoria.
Ad esempio, studia il comportamento della funzione:
$f(x):= \{ (-1, ", se " x<=0), (sin(1/x), ", se " x>0):}$.
Comunque, la risposta è: non esiste "la" definizione, ma ci sono "alcune" definizioni di funzioni regolari a tratti; scegli quella che serve per sviluppare la teoria.
"gugo82":
La condizione di esistenza del limite da destra o da sinistra della derivata è più forte dell'esistenza del limite destro o sinistro del rapporto incrementale, anche unito alla continuità (globale o da destra/sinistra) della funzione nel punto che ti interessa.
Prima di poter calcolare il limite da destra della f'(x), è necessario verificare che:
1. f(x) sia continua in $x_0$
2. f(x) sia derivabile da destra
Oppure sono in errore ?
"gugo82":
Comunque, la risposta è: non esiste "la" definizione, ma ci sono "alcune" definizioni di funzioni regolari a tratti; scegli quella che serve per sviluppare la teoria.
Ah ok. Credevo che la definizione fosse universale per tutti i testi.
In ogni caso, ho approfondito la definizione del bramanti (che di quelle fornite dal prof è la 1) ).
Il testo aggiunge che:
<
- un numero finito di punti angolosi
mentre non sono ammessi
- ne' asintoti verticali
- ne' punti di non derivabilità del tipo: punti a tangente verticale e cuspidi >>
Quindi , il fatto che sia consentito contrassegnare una funzione come regolare a tratti in $[0,T]$
quando c'è un punto angoloso in $[0,T]$,
nasconde la condizione di : derivata destra e derivata sinistra finite nei punti interni a quell'intervallo.
@gugo82 Mi sai dire , ai fini dei teoremi di convergenza puntuale e del teorema di derivazione di una serie di fourier, a cosa serve richiedere che esistano finiti i limiti "laterali" di f'(x) , per x-->estremo sottointervallo ?
Perché comunque , ha senso richiedere che: i limiti destro e sinistro di f(x), per x-->x0 siano finiti, a causa della convergenza puntuale della serie di fourier alla media dei due limiti per x-->x0.
Ma l'ipotesi sui limiti della derivata, la trovo inutile.
Dipende da come avete fatto la dimostrazione.
Se non ricordo male, quelle più classiche/comuni si fanno sfruttando i nuclei di Dirichlet e, comunemente, viene richiesto che $f$ ed $f'$ siano continue a tratti... Però non ho riferimenti sotto mano al momento.
Se non ricordo male, quelle più classiche/comuni si fanno sfruttando i nuclei di Dirichlet e, comunemente, viene richiesto che $f$ ed $f'$ siano continue a tratti... Però non ho riferimenti sotto mano al momento.
"CallistoBello":
@gugo82 Mi sai dire , ai fini dei teoremi di convergenza puntuale e del teorema di derivazione di una serie di fourier, a cosa serve richiedere che esistano finiti i limiti "laterali" di f'(x) , per x-->estremo sottointervallo ?
Perché comunque , ha senso richiedere che: i limiti destro e sinistro di f(x), per x-->x0 siano finiti, a causa della convergenza puntuale della serie di fourier alla media dei due limiti per x-->x0.
Ma l'ipotesi sui limiti della derivata, la trovo inutile.
Purtoppo la sola ipotesi di continuità non basta - si sa che esistono funzioni continue con molti punti per i quali la serie di Fourier non converge dove dovrebbe convergere. Ci sono ipotesi più deboli di quella sulle derivate per cui il teorema si riesce a dimostrare (ipotesi che permettono di "controllare l'oscillazione della funzione") - però sono un po' più complicate e l'ipotesi salla derivata è la più semplice da dire.
"ViciousGoblin":
Purtoppo la sola ipotesi di continuità non basta
Perché parli di ipotesi di continuità?
Il punto 3 della definizione del bramanti non specifica che:
"per ogni estremo di un sottointervallo in cui abbiamo decomposto il nostro intervallo di partenza
(per evitare una discontinuità di salto oppure un punto angoloso )
, limite destro e limite sinistro di f(x) devono esistere finiti e coincidere"
ma richiede soltanto che : quel limite esista finito.
"CallistoBello":
[quote="ViciousGoblin"]Purtoppo la sola ipotesi di continuità non basta
Perché parli di ipotesi di continuità?
Il punto 3 della definizione del bramanti non specifica che:
"per ogni estremo di un sottointervallo in cui abbiamo decomposto il nostro intervallo di partenza
(per evitare una discontinuità di salto oppure un punto angoloso )
, limite destro e limite sinistro di f(x) devono esistere finiti e coincidere"
ma richiede soltanto che : quel limite esista finito.[/quote]
Scusa. Intendevo continuità da destra / da sinistra. Rispondevo alla tua domanda in cui sembrava tu suggerissi che si potesse togliere l'ipotesi sul limite delle derivate.
@CallistoBello
Guardando i messaggi che chai scritto, quello in cui parli di due definizioni diverse, penso che ti possa essere utile la seguente osservazione (che credo di avere già scritto, ma forse non in questo modo)
Se $f:]a,b[\to\mathbb{R}$ è derivabile e se esistono finiti i limiti: $l^{+}= \lim_{x\to a^+}f'(x)$ e $l^{-} =\lim_{x\to b^-}f'(x)$, allora:
1) esistono i limiti $m^{+}= \lim_{x\to a^+}f(x)$ e $m^{-} =\lim_{x\to b^-}f(x)$ (si passa per la lipschitzianità si $f$);
2) posto $f(a):=m^+$ e $f(b):=m^-$ la funzione così estesa su $[a,b]$ è continua (ovviamente) e ammette derivata destra in $a$: $f'_+(a)=l^+$ e derivata sinistra in $b$: $f'_{-}(b)=l^-$ (si deduce da de l'Hôpital).
Da quanto capisco Bramanti &C. mettono l'esistenza dei limiti di $f$ come ipotesi (in effetti la dim. di 1) non è immediata).
Dopo di che l'ipotesi di regolarità a tratti equivale a dire che su ognuno dei sottointervalli $]a_i,b_i[$ la $f$ si estende a una
funzione $C^1(\ [a_i,b_i]\ )$.
Guardando i messaggi che chai scritto, quello in cui parli di due definizioni diverse, penso che ti possa essere utile la seguente osservazione (che credo di avere già scritto, ma forse non in questo modo)
Se $f:]a,b[\to\mathbb{R}$ è derivabile e se esistono finiti i limiti: $l^{+}= \lim_{x\to a^+}f'(x)$ e $l^{-} =\lim_{x\to b^-}f'(x)$, allora:
1) esistono i limiti $m^{+}= \lim_{x\to a^+}f(x)$ e $m^{-} =\lim_{x\to b^-}f(x)$ (si passa per la lipschitzianità si $f$);
2) posto $f(a):=m^+$ e $f(b):=m^-$ la funzione così estesa su $[a,b]$ è continua (ovviamente) e ammette derivata destra in $a$: $f'_+(a)=l^+$ e derivata sinistra in $b$: $f'_{-}(b)=l^-$ (si deduce da de l'Hôpital).
Da quanto capisco Bramanti &C. mettono l'esistenza dei limiti di $f$ come ipotesi (in effetti la dim. di 1) non è immediata).
Dopo di che l'ipotesi di regolarità a tratti equivale a dire che su ognuno dei sottointervalli $]a_i,b_i[$ la $f$ si estende a una
funzione $C^1(\ [a_i,b_i]\ )$.
Ok. Ricapitolando:
L'ipotesi sull'esistenza finita del limite delle derivate per x->estremo dell'intervallino, è necessaria in quanto :
2) se affiancata all'ipotesi di derivabilità in quell'intervallino , mi permette
- di estendere per continuità la funzione negli estremi di quell'intervallino
- di ammettere che esistono finite derivata nel primo estremo (i.e. derivata destra) e derivata nel secondo estremo (i.e. derivata sinistra)
1) le due definizioni richiedono la verifica dell'esistenza finita dei limiti agli estremi , richiesta inutile in quanto è già una conseguenza delle due ipotesi di : derivabilità in $]a,b[$ + esistenza finita di $l^+$ ed $l^-$
Questo non mi torna.
Ha senso dire che: una funzione C1 a tratti --> è automaticamente anche una funzione regolare a tratti.
Però non vale il viceversa, perché per essere C1 a tratti ci dev'essere anche l'ipotesi che:
f' è continua in $]a_i,b_i[$
ed invece nella definizione di funzione regolare a tratti (bramanti) non vedo nulla che mi possa garantire che "la derivata di f è continua nel singolo intervallino".
L'ipotesi sull'esistenza finita del limite delle derivate per x->estremo dell'intervallino, è necessaria in quanto :
2) se affiancata all'ipotesi di derivabilità in quell'intervallino , mi permette
- di estendere per continuità la funzione negli estremi di quell'intervallino
- di ammettere che esistono finite derivata nel primo estremo (i.e. derivata destra) e derivata nel secondo estremo (i.e. derivata sinistra)
1) le due definizioni richiedono la verifica dell'esistenza finita dei limiti agli estremi , richiesta inutile in quanto è già una conseguenza delle due ipotesi di : derivabilità in $]a,b[$ + esistenza finita di $l^+$ ed $l^-$
"ViciousGoblin":
Dopo di che l'ipotesi di regolarità a tratti equivale a dire che su ognuno dei sottointervalli ]ai,bi[ la f si estende a una
funzione C1( [ai,bi] ).
Questo non mi torna.
Ha senso dire che: una funzione C1 a tratti --> è automaticamente anche una funzione regolare a tratti.
Però non vale il viceversa, perché per essere C1 a tratti ci dev'essere anche l'ipotesi che:
f' è continua in $]a_i,b_i[$
ed invece nella definizione di funzione regolare a tratti (bramanti) non vedo nulla che mi possa garantire che "la derivata di f è continua nel singolo intervallino".
@CallistoBello
Scusa. Non avevo letto la definizione di Bramanti.
Sostituisci "$C^1$" con "derivabile" nella mia ultima risposta.
Sottinteso che agli estremi si parla di derivata destra/sinistra.
Scusa. Non avevo letto la definizione di Bramanti.
Sostituisci "$C^1$" con "derivabile" nella mia ultima risposta.
Sottinteso che agli estremi si parla di derivata destra/sinistra.
Ok , ora sono d'accordo 
Quindi , mi confermi che: la seguente definizione non mi garantisce anche la continuità di f' ?
Quindi , mi confermi che: la seguente definizione non mi garantisce anche la continuità di f' ?
"CallistoBello":
def(funzione regolare a tratti):
<< una funzione si dice regolare a tratti se , considerata f definita in $[0,T]$
1. f è limitata in $[0,T]$
2. quest' Intervallo può essere suddiviso in diversi sotto-Intervalli $(a_i,b_i)$ tali che:
in ciascuno di essi la funzione è continua e derivabile
3. ed inoltre, negli estremi degli Intervallini , esistono finiti limite $x-->a_i^+$ e per $x-->b_i^-$ di $f$ e di $f'$
>>
Fonte: Bramanti- analisi 2
"CallistoBello":
Il testo aggiunge che:
<- un numero finito di punti di discontinuità di salto
- un numero finito di punti angolosi
mentre non sono ammessi
- ne' asintoti verticali
- ne' punti di non derivabilità del tipo: punti a tangente verticale e cuspidi >>
@CallistoBello
Certo. Se non dici che $f'$ è continua non c'è modo di ottenerlo dalle altre proprietà.
Al solito si potrebbe obiettare che la 1) segue dalle altre (perché su ogni $]a_i,b_i[$ la funzione si estende con continuità a $[a_i.b_i]$ (le diverse estensioni possono confliggere negli estremi). Ne segue che $f$ è limitata su $]a_i,b_i[$ ( applicando Weierstrass alla funzione estesa). Dato che gli estremi $a_i$ e $b_i$ sono un numero finito si ricava che $f$ è limitata.
Ma puoi tranquillamente ignorare questa aggiunta...
Certo. Se non dici che $f'$ è continua non c'è modo di ottenerlo dalle altre proprietà.
Al solito si potrebbe obiettare che la 1) segue dalle altre (perché su ogni $]a_i,b_i[$ la funzione si estende con continuità a $[a_i.b_i]$ (le diverse estensioni possono confliggere negli estremi). Ne segue che $f$ è limitata su $]a_i,b_i[$ ( applicando Weierstrass alla funzione estesa). Dato che gli estremi $a_i$ e $b_i$ sono un numero finito si ricava che $f$ è limitata.
Ma puoi tranquillamente ignorare questa aggiunta...
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