Serie di funzioni

[alby09090909]

Ciao a tutti io partendo dalla funzione $f_k = \frac{x^k}{k!} $ sono riuscito a fare vedere, tramite il teorema di integrabilità termine a termine su un intervallo $[-a, a]$ che vale la relazione $sinh(a) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k!}$ per $k$ dispari.

Io vorrei usare la stessa strada per dimostrare la relazione $ cosh(a) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!}$ per $k$ pari.
Tuttavia non so che $f_k$ utilizzare o che passaggio non riesco a completare.
Il mio problema sta nel fatto che quando faccio $\int_{-a}^{a} sum_{k=0}^{\infty}f_k(x) dx = \int_{-a}^{a} e^x dx $, grazie al teorema citato prima, non riesco a trovare una relazione per trovare $e^a + e^{-a} = 2cosh(a) $

[pilloeffe]

Ciao Albi,

"Albi":Tuttavia non so che $f_k$ utilizzare o che passaggio non riesco a completare.

$f_k = (- x)^k/(k!) $

Ma non è più comodo derivare rispetto ad $a$ quanto hai già ottenuto?

$sinh(a) = \sum_{k = 0}^{+\infty} a^{2k + 1}/((2k + 1)!) $

Derivando rispetto ad $a$ si ottiene:

$cosh(a) = \sum_{k = 0}^{+\infty} a^{2k}/((2k)!) $

[alby09090909]

Si sarebbe più comodo ma il professore ci ha chiesto di utilizzare questa strada.
Utilizzando la $f_k$ che dici tu, non avrei lo stesso problema quando integro $e^{-x}$?

[pilloeffe]

Beh, era un suggerimento, ma in realtà non dovresti proprio usare la $f_k $ che ti ho suggerito, ma diciamo una $g_k (x) $ che sia una combinazione lineare fra la $f_k $ che hai tu e quella che ti ho suggerito:

$ g_k(x) = \alpha x^k/(k!) + \beta (- x)^k/(k!) $

[alby09090909]

Scusami, ma non riesco proprio a venirne fuori.
Anche con tale combinazione lineare non riesco proprio a trovare un $\alpha$ o $\beta $ che soddisfano le richieste.

Io sono fermo sempre a questo punto $\int_{-a}^{a} \alpha e^x + \beta e^{-x} dx = (\alpha + \beta)e^a - (\alpha + \beta)e^{-a} $ e non trovo in che modo mi possa risultare uguale ad $e^a + e^{-a}$

[alby09090909]

Nessuno riesce a darmi un aiuto?

[Studente Anonimo]

Io proverei ad integrare sull'intervallo $[0,a]$.