Convergenza della serie
$\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln(\frac{n+1}{n})}{n}$
Criterio del rapporto e della radice non concludono.
Ho provato a sostituire il logaritmo con la radice quadrata, ma non concludo lo stesso.
Rimarrebbe il test dell'integrale, ma spero ci sia un'alternativa più immediata
Grazie
Criterio del rapporto e della radice non concludono.
Ho provato a sostituire il logaritmo con la radice quadrata, ma non concludo lo stesso.
Rimarrebbe il test dell'integrale, ma spero ci sia un'alternativa più immediata
Grazie
Risposte
Ciao! Suggerimento: $\log\left(\frac{n+1}{n}\right)=\log\left(1+\frac{1}{n}\right)$ con $1/n \to 0$ per $n \to +\infty$.
"Mephlip":
Ciao! Suggerimento: $\log\left(\frac{n+1}{n}\right)=\log\left(1+\frac{1}{n}\right)$ con $1/n \to 0$ per $n \to +\infty$.
Giusto! Che scemo
Come ho fatto a non vederlo!
Il bello è che nei vari ragionamenti lo avevo pure scritto ad una certa $\frac{n+1}{n}$ come $1+\frac{1}{n}$,
ma continuavo a pensare agli altri criteri e me lo sono perso.
Allora il tutto è asintotico ad $\frac{1}{n^2}$, e quindi converge.
Scusatemi, Grazie!!
Ciao JackedTux,
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln(\frac{n+1}{n})}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln(1 + \frac{1}{n})}{n} \le \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\frac{1}{n}}{n} =
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \pi^2/6 $
Dunque la serie proposta è convergente. In una riga, come promesso...
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln(\frac{n+1}{n})}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln(1 + \frac{1}{n})}{n} \le \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\frac{1}{n}}{n} =
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \pi^2/6 $
Dunque la serie proposta è convergente. In una riga, come promesso...
@JackedTux: Prego! Volevo solamente segnalarti una cosa, a proposito di questo:
è inutile utilizzare il criterio della radice se hai già usato il criterio del rapporto e il limite del criterio del rapporto è $1$: questo perché si dimostra che se il limite del criterio del rapporto è $l$, allora anche il limite del criterio della radice è $l$ (in generale il viceversa non vale, quindi può avere senso applicare il criterio del rapporto se dovesse fallire il criterio della radice).
"JackedTux":
Criterio del rapporto e della radice non concludono.
è inutile utilizzare il criterio della radice se hai già usato il criterio del rapporto e il limite del criterio del rapporto è $1$: questo perché si dimostra che se il limite del criterio del rapporto è $l$, allora anche il limite del criterio della radice è $l$ (in generale il viceversa non vale, quindi può avere senso applicare il criterio del rapporto se dovesse fallire il criterio della radice).
"Mephlip":
@JackedTux: Prego! Volevo solamente segnalarti una cosa, a proposito di questo:
[quote="JackedTux"]
Criterio del rapporto e della radice non concludono.
è inutile utilizzare il criterio della radice se hai già usato il criterio del rapporto e il limite del criterio del rapporto è $1$: questo perché si dimostra che se il limite del criterio del rapporto è $l$, allora anche il limite del criterio della radice è $l$ (in generale il viceversa non vale, quindi può avere senso applicare il criterio del rapporto se dovesse fallire il criterio della radice).[/quote]
Ah, non lo sapevo.
Tornerà utile e mi farà risparmiare tempo.
Grazie ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo