Decomposizione in fratti semplici
Ciao a tutti, ho un dubbio che riguarda la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale.
Considerando, ad esempio:
$(1)$ $\frac{2x+5}{x^2-1}=\frac{2x+5}{(x+1)(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$
$(2)$ $\frac{1}{x^3+x}=\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$
Perché nelle frazioni parziali il numeratore deve essere esattamente di un grado in meno rispetto al denominatore? C'è una dimostrazione che mi permetta di verificare ciò?
Ad esempio, nel caso $(2)$ ho notato che se al numeratore della seconda frazione parziale ci fosse una costante al posto di un generico polinomio di primo grado, una volta effettuata la somma, non riuscirei a trovare i valori delle incognite:
$\frac{1}{x^3+x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+B(x)}{x^3+x}=\frac{Ax^2+Bx+A}{x^3+x}$
e avrei che $A=0$, ma allo stesso tempo dovrebbe valere $A=1$.
Considerando, ad esempio:
$(1)$ $\frac{2x+5}{x^2-1}=\frac{2x+5}{(x+1)(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$
$(2)$ $\frac{1}{x^3+x}=\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$
Perché nelle frazioni parziali il numeratore deve essere esattamente di un grado in meno rispetto al denominatore? C'è una dimostrazione che mi permetta di verificare ciò?
Ad esempio, nel caso $(2)$ ho notato che se al numeratore della seconda frazione parziale ci fosse una costante al posto di un generico polinomio di primo grado, una volta effettuata la somma, non riuscirei a trovare i valori delle incognite:
$\frac{1}{x^3+x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+B(x)}{x^3+x}=\frac{Ax^2+Bx+A}{x^3+x}$
e avrei che $A=0$, ma allo stesso tempo dovrebbe valere $A=1$.
Risposte
Cos'è un fratto semplice?
"gugo82":
Cos'è un fratto semplice?
Ciao @gugo82,
Mi scuso per l'imprecisione, ora ho modificato il titolo del post.
"alfred douglas":
[quote="gugo82"]Cos'è un fratto semplice?
Ciao @gugo82,
Mi scuso per l'imprecisione, ora ho modificato il titolo del post.[/quote]
Non mi stavo riferendo ad imprecisioni nel titolo, ma al fatto che sembri ignorare la definizione di fratto semplice.
"gugo82":
[quote="alfred douglas"][quote="gugo82"]Cos'è un fratto semplice?
Ciao @gugo82,
Mi scuso per l'imprecisione, ora ho modificato il titolo del post.[/quote]
Non mi stavo riferendo ad imprecisioni nel titolo, ma al fatto che sembri ignorare la definizione di fratto semplice.[/quote]
A dire il vero non ne conosco la definizione precisa, ma intuitivamente mi verrebbe da dire che è una frazione con al denominatore un polinomio irriducibile e al numeratore un polinomio di grado minore rispetto al denominatore.
"pilloeffe":
Ciao alfred douglas,
Per maggiori informazioni potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
Ciao pilloeffe,
Ho visto svariate dimostrazioni, compreso questa che mi hai citato, ma relativamente al numeratore di ogni frazione parziale viene dimostrato che il suo grado è minore del grado del numeratore. Ciò che mi domando io invece è il perché il numeratore deve essere esattamente di un grado in meno rispetto al denominatore.
Perché ad esempio, se ho come denominatore un polinomio di grado 2, devo scegliere come numeratore un polinomio di grado 1 e non di grado 0 (i.e. una costante)?
"alfred douglas":
Ad esempio, nel caso $(2)$ ho notato che se al numeratore della seconda frazione parziale ci fosse una costante al posto di un generico polinomio di primo grado, una volta effettuata la somma, non riuscirei a trovare i valori delle incognite:
$\frac{1}{x^3+x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+B(x)}{x^3+x}=\frac{Ax^2+Bx+A}{x^3+x}$
e avrei che $A=0$, ma allo stesso tempo dovrebbe valere $A=1$.
L'idea che ci sta dietro credo si basi sul fatto che, facendo come nell'esempio qui sopra, non avrei abbastanza "informazioni" per poter risolvere l'uguaglianza.
"alfred douglas":
[quote="gugo82"]
Non mi stavo riferendo ad imprecisioni nel titolo, ma al fatto che sembri ignorare la definizione di fratto semplice.
A dire il vero non ne conosco la definizione precisa, ma intuitivamente mi verrebbe da dire che è una frazione con al denominatore un polinomio irriducibile e al numeratore un polinomio di grado minore rispetto al denominatore.[/quote]
Appunto... E come sono fatti i polinomi irriducibili sui reali? E quali sono i generici polinomi di grado inferiore a questi?
"alfred douglas":
Ciò che mi domando io invece è il perché il numeratore deve essere esattamente di un grado in meno rispetto al denominatore.
Perché ad esempio, se ho come denominatore un polinomio di grado 2, devo scegliere come numeratore un polinomio di grado 1 e non di grado 0 (i.e. una costante)?
Perché la costante, che potrebbe anche capitare, è comunque un caso particolare che rientra nel caso $Bx + C$ con $B = 0 $. Prova a pensare alla normale divisione fra polinomi:
$(N(x))/(D(x)) = Q(x) + (R(x))/(D(x)) $
Se $D(x) $ ha grado $1$ non ci sono dubbi che a numeratore ci vada solo la costante $A$ (grado $0$). Il caso che ti rimane fuori è quello in cui $D(x) $ ha grado $2$ ed è irriducibile (cioè ha $\Delta < 0 $ e quindi non si può scomporre nel prodotto di binomi di primo grado in $\RR$). Ora cosa accade in generale se $\text{deg}[N(x)] = 3 $? Beh, che $\text{deg}[Q(x)] = 1 $ e $\text{deg}[R(x)] = 1 $, cioè $R(x)$ è proprio del tipo $ Bx + C$
E se invece $\text{deg}[N(x)] = 4 $? Beh, in tal caso $\text{deg}[Q(x)] = 2 $ e $R(x) $ potrebbe anche essere una costante, ma non sarebbe altro che un caso particolare del binomio $Bx + C $ con $B = 0$. Potresti provare tu con altri casi, ma dovresti renderti conto facilmente che in generale $R(x) = Bx + C $ e certo può capitare che sia $B = 0$, ma è un caso particolare.
Per ricordarmi di questa cosa personalmente penso alla derivata:
1) se il denominatore è di primo grado nella decomposizione in fratti semplici a numeratore devo metterci la derivata di una retta, cioè una costante;
2) se il denominatore è di secondo grado irriducibile nella decomposizione in fratti semplici a numeratore devo metterci la derivata di una parabola, cioè una retta del tipo $Bx + C$
"gugo82":
E quali sono i generici polinomi di grado inferiore a questi?
Di grado 1 e grado 0 ovviamente. Infatti mi domando perché il polinomio generico al numeratore deve essere di grado 1 e non di grado 0. Ad esempio:
$\frac{6x^2+21x+11}{(x^2+3)(x+5)}=\frac{N_1(x)}{x^2+3}+\frac{N_2(x)}{x+5}$
Ora so per certo che $N_2(x)$ è di grado 0 per cui è una costante, ma per quanto riguarda $N_1(x)$ il suo grado potrebbe essere 1 oppure 0 e comunque rispetterebbe la condizione per cui $deg(N_1(x))
$\frac{6x^2+21x+11}{(x^2+3)(x+5)}=\frac{A}{x^2+3}+\frac{B}{x+5}=\frac{Ax+5A+Bx^2+3B}{(x^2+3)(x+5)}$ che è un polinomio di secondo grado per cui potrebbe soddisfare l'uguaglianza $6x^2+21x+11=Ax+5A+Bx^2+3B$.
A questo punto dovrebbe valere:
$\{(B=6),(A=21),(5A+3B=11):}$
che è un sistema di equazioni lineari impossibile.
Perché quindi come condizione nel metodo della decomposizione in fratti semplici viene specificato che ogni frazione parziale deve avere il numeratore con grado minore del denominatore quando invece il grado del numeratore deve essere esattamente di un grado in meno rispetto al denominatore?
"alfred douglas":
Perché quindi come condizione nel metodo della decomposizione in fratti semplici viene specificato che ogni frazione parziale deve avere il numeratore con grado minore del denominatore quando invece il grado del numeratore deve essere esattamente di un grado in meno rispetto al denominatore?
Temo che tu non abbia letto con sufficiente attenzione la mia risposta...
Potrebbe anche capitare che il numeratore sia di grado 0, ma è un caso particolare che rientra nel caso più generale $Bx + C $ con $B = 0 $
Ad esempio:
$(2x^3 + 2x + 5):(x^2 + 1) = 2x + 5/(x^2 + 1) $
In questo caso come vedi l'ultimo fratto semplice ha denominatore di secondo grado irriducibile e il numeratore di grado $0$, ma è un caso particolare che rientra nel caso più generale $Bx + C $ con $B = 0 $ e $C = 5$
"pilloeffe":
Temo che tu non abbia letto con sufficiente attenzione la mia risposta...
Potrebbe anche capitare che il numeratore sia di grado 0, ma è un caso particolare che rientra nel caso più generale $Bx + C $ con $B = 0 $
Ad esempio:
$(2x^3 + 2x + 5):(x^2 + 1) = 2x + 5/(x^2 + 1) $
In questo caso come vedi l'ultimo fratto semplice ha denominatore di secondo grado irriducibile e il numeratore di grado $0$, ma è un caso particolare che rientra nel caso più generale $Bx + C $ con $B = 0 $ e $C = 5$
Si, l'ho letta, ma non vedevo la correlazione con il mio caso essendo che la frazione che deve essere decomposta in fratti semplici ha numeratore di grado minore del denominatore e in quel caso la divisione non è possibile.
Ora, dopo aver riletto la tua risposta, credo che il mio problema sia relativo al fatto di identificare nel polinomio generico $Bx+C$ un polinomio di primo grado, quando invece non è detto che lo sia, in quanto come dici tu $B$ potrebbe essere uguale a $0$. Il polinomio generico $Bx+C$ quindi, identifica un generico polinomio con grado compreso tra 0 ed 1 (a seconda del valore di $B$) ed è proprio la condizione richiesta, ovvero che il polinomio al numeratore deve essere di grado minore rispetto a quello del denominatore, che nel mio caso è di grado 2.
Mi dispiace di aver fatto perdere del tempo a te e @gugo82 per questa mia svista banale, vi ringrazio molto!
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