Polinomio di Taylor
Questo genere di esercizi son sempre riuscito a farli, ma in questo caso proprio non c'è verso.
È da ieri sera che ci provo e niente! Evidentemente sto sbagliando strategia,
forse ho sempre usato una strategia poco furba che in questo caso mostra i suoi punti deboli, boh!
Determinare il polinomio di Taylor centrato in $0$ e di ordine $4$ di $f(x)=\frac{x^2}{1+e^x}$
Io son partito così (come ho sempre fatto e come ha sempre funzionato fino a due giorni fa..)
$e^x=1+x+1/2x^2+R_n(x)$
$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+R_n(x)$
$\frac{x^2}{1+e^x}=x^2[1-(1+x+1/2x^2+R_n(x))+(1+x+1/2x^2+R_n(x))^2 + R_n(x)]$
Troncando tutto all'ordine richiesto, ma non viene! Ho pensato che forse servivano più termini,
allora con Wolfram Alpha le ho provate tutte, fino a che non mi ha detto di aver superato il limite dei caratteri!
Ma cosa sto sbagliando?
Grazie
È da ieri sera che ci provo e niente! Evidentemente sto sbagliando strategia,
forse ho sempre usato una strategia poco furba che in questo caso mostra i suoi punti deboli, boh!
Determinare il polinomio di Taylor centrato in $0$ e di ordine $4$ di $f(x)=\frac{x^2}{1+e^x}$
Io son partito così (come ho sempre fatto e come ha sempre funzionato fino a due giorni fa..)
$e^x=1+x+1/2x^2+R_n(x)$
$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+R_n(x)$
$\frac{x^2}{1+e^x}=x^2[1-(1+x+1/2x^2+R_n(x))+(1+x+1/2x^2+R_n(x))^2 + R_n(x)]$
Troncando tutto all'ordine richiesto, ma non viene! Ho pensato che forse servivano più termini,
allora con Wolfram Alpha le ho provate tutte, fino a che non mi ha detto di aver superato il limite dei caratteri!
Ma cosa sto sbagliando?
Grazie
Risposte
Ciao JackedTux,
Scusa ma... Non ti conviene trovare le derivate di quella funzione fino all'ordine $4$ e poi calcolarle per $x_0 = 0$?
$ T_4(x) = f(x_0) + f^{(1)}(x_0)(x - x_0) + (f^{(2)}(x_0))/(2!) (x - x_0)^2 + (f^{(3)}(x_0))/(3!) (x - x_0)^3 + (f^{(4)}(x_0))/(4!) (x - x_0)^4 $
Scusa ma... Non ti conviene trovare le derivate di quella funzione fino all'ordine $4$ e poi calcolarle per $x_0 = 0$?
$ T_4(x) = f(x_0) + f^{(1)}(x_0)(x - x_0) + (f^{(2)}(x_0))/(2!) (x - x_0)^2 + (f^{(3)}(x_0))/(3!) (x - x_0)^3 + (f^{(4)}(x_0))/(4!) (x - x_0)^4 $
Ti sei chiesto perché fino a due giorni fa ha funzionato ed ora no?
"pilloeffe":
Ciao JackedTux,
Scusa ma... Non ti conviene trovare le derivate di quella funzione fino all'ordine $4$ e poi calcolarle per $x_0 = 0$?
$ T_4(x) = f(x_0) + f^{(1)}(x_0)(x - x_0) + (f^{(2)}(x_0))/(2!) (x - x_0)^2 + (f^{(3)}(x_0))/(3!) (x - x_0)^3 + (f^{(4)}(x_0))/(4!) (x - x_0)^4 $
Giusto, posso fare anche così. Ora ci provo
"gugo82":
Ti sei chiesto perché fino a due giorni fa ha funzionato ed ora no?
Non troppo, prima pensavo fosse una questione di termini,
ora che me lo hai chiesto ci ho pensato di più.
In questo caso $Img(g) \subseteq Img(f)$ vale giusto?? $g(x)=e^x$, $f(x)=\frac{1}{1+x}$
Probabilmente avrei dovuto usare l'espansione di $\frac{1}{1+x}$ non centrata in $0$ ma in $g(0)=1$ ?
"JackedTux":
[quote="gugo82"]Ti sei chiesto perché fino a due giorni fa ha funzionato ed ora no?
Non troppo, prima pensavo fosse una questione di termini,
ora che me lo hai chiesto ci ho pensato di più.
In questo caso $Img(g) \subseteq Img(f)$ vale giusto?? $g(x)=e^x$, $f(x)=\frac{1}{1+x}$
Probabilmente avrei dovuto usare l'espansione di $\frac{1}{1+x}$ non centrata in $0$ ma in $g(0)=1$ ?[/quote]
Si confermo, il polinomio di Taylor di $\frac{1}{1+x}$ centrato in $1$ è:
$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-1)+R_n(x)$
sostituisco alla $x$ il polinomio di Taylor di $e^x$ centrato in $0$:
$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(1+x+\frac{1}{2}x^2-1)+R_n(x)$ = $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x+R_n(x)$
moltiplico tutto per $x^2$ ed ottengo il risultato giusto:
$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x^3+R_n(x)$
Grazie @gugo82
"JackedTux":
[quote="pilloeffe"]Ciao JackedTux,
Scusa ma... Non ti conviene trovare le derivate di quella funzione fino all'ordine $4$ e poi calcolarle per $x_0 = 0$?
$ T_4(x) = f(x_0) + f^{(1)}(x_0)(x - x_0) + (f^{(2)}(x_0))/(2!) (x - x_0)^2 + (f^{(3)}(x_0))/(3!) (x - x_0)^3 + (f^{(4)}(x_0))/(4!) (x - x_0)^4 $
Giusto, posso fare anche così. Ora ci provo[/quote]
no ma così è deleterio! Perché me lo hai consigliato?
ovviamente viene:
$0+0+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x^3+0$
ma non ho fatto i calcoli io, se avessi dovuto calcolarmi io le derivate io sarei impazzito!
Decisamente meglio fare come ho fatto in risposta a gugo82.
Con una semplice domanda mi ha spronato a trovare la soluzione in autonomia.
"JackedTux":
Prego.
"JackedTux":
Decisamente meglio fare come ho fatto in risposta a gugo82.
Con una semplice domanda mi ha spronato a trovare la soluzione in autonomia.
Visto?!?
E secondo te perché uno ti rompe le scatole che devi ragionare sulle cose di base, devi essere preciso, etc...
"JackedTux":
no ma così è deleterio!
Hai ragione, pur scrivendo la funzione nella forma che avevo pensato $f(x) = x^2(1 + e^x)^{- 1} $ ho notato che le derivate si complicano rapidamente già dalla derivata seconda.
Invece un altro metodo abbastanza furbo che mi è venuto in mente considerando che per $x_0 = 0 $ si ha $f(x_0) = 0$ e $f'(x_0) = 0 $ è il seguente:
$T_4[f(x)] = T_4[x^2/(e^x + 1)] = 0 + 0\cdot x + Ax^2 + Bx^3 + Cx^4 $
Quindi ricordando lo sviluppo $e^x + 1 = 2 + x + x^2/2 + ... $ si ha:
$x^2 = (Ax^2 + Bx^3 + Cx^4)(2 + x + x^2/2) = $
$ = 2Ax^2 + Ax^3 + Ax^4/2 + 2Bx^3 + Bx^4 + B/2 x^5 + 2Cx^4 + Cx^5 + C/2 x^6 = $
$ = 2Ax^2 + (A + 2B)x^3 + (A/2 + B + 2C)x^4 + R_5(x) $
Per il principio di identità dei polinomi deve essere:
${(2A = 1),(A + 2B = 0), (A/2 + B + 2C = 0):} $
${(A = 1/2),(B = - 1/4), (C = 0):} $
Sicché si ha:
$T_4[f(x)] = T_4[x^2/(e^x + 1)] = 1/2 x^2 - 1/4 x^3 + R_5(x) $
"gugo82":
[...] devi essere preciso, [...]
A proposito di precisione:
"JackedTux":
moltiplico tutto per $x^2 $ ed ottengo il risultato giusto:
$1/2x^2−1/4x^3+R_n(x)$
$R_n(x) $ è un po' troppo generico...
"pilloeffe":
[...] Invece un altro metodo abbastanza furbo che mi è venuto in mente [...]
Stranamente son riuscito a seguirlo e a capirlo!
"pilloeffe":
[quote="gugo82"] [...] devi essere preciso, [...]
A proposito di precisione:
"JackedTux":
moltiplico tutto per $x^2 $ ed ottengo il risultato giusto:
$1/2x^2−1/4x^3+R_n(x)$
$ R_n(x) $ è un po' troppo generico...
[/quote]
Ma dici per via dell'indice $n$ che non specifico? Ora provo a metterceli ma sicuro sbaglio...
Comunque prima di questo, in realtà qua
"JackedTux":
$ \frac{1}{2}-\frac{1}{4}(1+x+\frac{1}{2}x^2-1)+R_n(x) $ = $ \frac{1}{2}-\frac{1}{4}x+R_n(x) $
ho pure sbagliato, cioè ho tagliato corto perché conoscevo già il risultato, ma avrei dovuto aggiungere anche:
$1/2-1/4(1+x+1/2x^2+R_3(x)-1)+1/8(1+x+1/2x^2+R_3(x)-1)^2+R_3(x)=$
$=1/2-1/4x-1/8x^2+1/8x^2+R_3(x)$ che moltiplicato per $x^2$ diventa $=1/2x^2-1/4x^3+R_5(x)$
senza l'ultimo pezzo ($1/8(e^x-1)^2$) e senza sapere il risultato corretto, avrei scritto $1/2-1/4x-1/8x^2+R_2(x)$
e infine moltiplicando per $x^2$ avrei concluso (sbagliando) che il polinomio di $4°$ grado è:
$1/2x^2-1/4x^3-1/8x^4+R_4(x)$
e in effetti quel $R_4(x)$ che è rimasto avrebbe dovuto farmi accorgere dell'errore?
O come ho detto prima
"JackedTux":?
Ora provo a metterceli ma sicuro sbaglio...
"JackedTux":
Stranamente son riuscito a seguirlo e a capirlo!
Perché dici stranamente? Magari non sarai un mostro e hai bisogno di essere un po' guidato nei ragionamenti, ma sei in grado di farli: vedrai che anche tu, come me, ti appassionerai anche alla Matematica e supererai brillantemente l'esame...
Il coefficiente di $x^4 $ comunque è nullo, quindi come
"JackedTux":
che moltiplicato per $x^2 $ diventa $=1/2 x^2−1/4 x^3+R_5(x)$
è corretto, in effetti si ha $f(x) = x^2/2 - x^3/4 + x^5/48 + O(x^7) $
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