Analisi matematica di base

Salve a tutti, sto facendo degli esercizi sulle serie numeriche e mi è capitato un esercizio con questa serie $ sum_(n = 1)((n+1)cos(n))/root(3)(n^(7) $ che, se non ho studiato male (sono autodidatta) è assolutamente equivalente, per n che tende a infinito, a $ sum_(n = 1)1/n^(4/3) $ che, essendo una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1, converge e quindi anche la serie di partenza converge. Quello che non riesco a calcolare è la somma della serie per n che tende a infinito. qualcuno mi può ...

I am asked to show that \begin{equation}\label{1} f(s)=\frac{s^{2m}}{2m}\chi_{(0,\rho]}(s)+\left(\frac{\rho^{2\alpha}s^{2(m-\alpha)}}{2(m-\alpha)}-\frac{\rho^{2m}\alpha}{2m(m-\alpha)}\right)\chi_{(\rho,+\infty)}(s)0 \end{equation} where f is a real valued function, $0<\alpha<m$, $m\in\mathbf{Z}$, $\alpha \not\in\mathbf{Z}$, $\alpha\in\mathbf{R}$ and $\rho>0$ is a constant. Moreover, $\chi_{(a,b]}(s)$ is a characteristic function, that is, its value is ...

Buonasera a tutti, chiedo a voi esperti chiarimenti riguardo la condizione sufficiente di continuità, in particolare so che una funzione è continua se $ AA tau $ $ EE delta $ : $ |x-x_0|<delta rArr |f(x)-f(x_0)|<tau $ Questa condizione si può esprimere anche come f è continua in $ x_0 rArr $ $ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $ E qui mi vengono i dubbi, perchè affinché f sia continua allora o vale la definizione o il limite, quindi il limite è condizione sufficiente per la continuità. Questo significa che il ...

Nel testo Lezioni di Analisi Matematica 2 di Giovanni Prodi viene fatto riferimento ad un teorema di topologia che viene definito noto al lettore e che riporto testualmente: "Se \(\displaystyle D \) è un aperto limitato connesso di \(\displaystyle R^2 \) con frontiera di classe \(\displaystyle C^1 \) a tratti e senza tagli (cioè $\forall p \in Fr(D)$ l'insieme $D \bigcap B_r(p)$ è connesso), allora $D$ è unione di un numero finito di insiemi normali rispetto ad $x$ e ad ...

Buonasera. Devo verificare che la famiglia formata dalle unioni di intervalli chiusi a sinistra e aperti a destra definisce una topologia su i reali. Tale topologia prende il nome di topologia di Sorgenfrey. Prima di iniziare la verifica, dovrei saper formalizzare in formule quanto scritto, è qui arriva il primo problema, cioè, non so se quanto segue rispecchia quello scritto sopra Sia $\mathcal{A}=\{A_i\}_{i \in I}$ famiglia i cui elementi sono $A_i=\bigcup_{i \in I}[a_i,b_i)$. Poi l'insieme degli indici ...

Buongiorno, ho un dubbio riguardo il criterio di convergenza assoluta per serie numeriche. Stavo guardando la correzione di un tema d'esame e ho notato il seguente esercizio: TESTO: Determinare per quali valori di $x in RR$ la serie $\sum_{n=2}^(+oo) (x^2-2x)^n(n^2+log(n))/(n^3-1)$ converge, specificando se si tratta di convergenza assoluta. Ora, come prima cosa viene considerata la serie $\sum_{n} abs(a_n)$ e viene detto che: $abs(a_n)~~abs(x^2-2x)^n/n$ $abs(a_n)->+oo$ se $x in (-oo,1-sqrt(2))uu(1+sqrt(2),+oo)$. A questo punto la correzione ...

Devo calcolare l'area della regione di piano $D=\{(x,y)\inRR^2 | x^2+y^2>=1 \wedge y^2+x-4 <=0 \wedge x>=0 \wedge y>=0\}$ usando Gauss-Green. Innanzitutto come posso parametrizzare la frontiera di $D$?

Buongiorno, ho qualche dubbio riguardo il seguente esercizio: TESTO: Sia $a ∈ R$ e sia $f : R → R$ tre volte derivabile e tale che, per $x → 2$, $f(x) = a + (a^3 + a^<br /> 2 − 12a)(x − 2) + (a^<br /> 3 − a)(x − 2)^2 + (a^<br /> 2 + 5)(x − 2)^3 + o((x − 2)^3<br /> )$. Stabilire per quali $a$ il grafico di $f$ presenta nel punto di ascissa $2$, uno dei seguenti comportamenti (specificando quale): massimo, minimo, flesso a tangente orizzontale. Per risolvere questo esercizio potrei semplicemente fare un confronto grafico dei valori ...

Sia $(x,y) in RR^2$. Definisco $f:RR^2 to RR$: $f(x,y)= {(y^2, y!=0), (0, y=0):}$ Il mio libro dice che questa funzione è "differenziabile nell'origine ma non continua in alcun intorno dell'origine". A me sembra strano... Credo che ci sia un errore, anche perchè la funzione così definita è proprio come definire $f(x,y)=y^2$. Dico bene? Possibile che intendesse: $f(x,y)= {(x^2, y!=0), (0, y=0):}$ ?

potreste ricordarmi le condizioni richieste dal teorema che stabilisce la possibilità di scambiare il segno di limite con il logaritmo? e magari anche con le altre funzioni grazie

Ciao come è stato dimostrato che la condizione di lipschitzianità garantisce unicità per il problema di Cauchy in questa foto che allego? Non capisco da dove esce il terzo passaggio

Ciao ragazzi, vorrei chiedervi un aiuto a capire una cosa scritta dal prof di fisica 1 Avrei questa simbologia: $(dA)/(d(1+x))|_(x=5)$, e non capisco cosa voglia dire derivare per $1+x$. io so derivare per variabili, che caspita vorra mai dire d(1+x)? in questo caso? Che derivo per una funzione, sono un po' disorientato e vorrei formalizzare questa cosa. Grazie per le eventuali manine.

Ciao a tutti Premetto che on sto confondendo quello che è un trick usato in modo spassionato nel primo corso di meccanica conla teoria dell'analisi (thm derivata della funzione inversa), bensì vorrei capire come dimostrarmi questa cosa: volendo usare la notaizone dy/dx io so che $(f^(-1))'(y_0)=1/(f'(x_0))$ ossia tradotto: $(f^(-1))'(y)=1/((dy)/(dx))$ che spesso subisce la tortura $=(dx)/(dy)$ va da séche non sia questo scambio di rapporto quel che si fa, però mi lascia incuriosito come dimostrare quello ...

Devo studiare il grafico qualitativo di $y(x)$ sapendo $y^5(x) +y^3(x) x^2+1=0$, non so se si possono ricavare altre informazioni oltre a quelle che ho già trovato Per iniziare l'ho riscritta così $ -\frac{1}{y^3}-y^2=x^2$, e poi svolgendo i limiti $x\to\pm\infty$ segue $y(x)\to 0^-$ Inoltre scrivendo $y(x)(y^4(x) +y^2(x) x^2)=-1$ segue $y(x)\le 0$ Dal teorema di Dini $y'(x)=-\frac{2xy(x)}{5y^2(x)+3x^2}$ da cui ho dedotto che $y'(0)=0$ e $y'(x)\ge0$ per $x>0$ e $y'(x)\le0$ per ...

Buongiorno, sono in difficoltà a verificare se la funzione f(x)=x(sen x^3) è integrabile nell'intervallo [2,+infinito]. Ho valutato le due funzioni e la funzione lineare è positiva nell'intervallo considerato e la funzione sen è limitata tra -1 e 1, ho provato a verificare la convergenza dividendo per x^4 ma non riesco a venirne a capo. Grazie a chi mi può aiutare

Salve ho un esercizio di esame che dice questo: Data $f(x,y)=y^7+x^2y+x^6$ dimostrare che esiste un unica $y(x)$ tale che $f(x,y(x))=0$ per ogni $x$. Ho mostrato che in ogni punto diverso da $(0,0)$ la mia funzione ha gradiente non nullo e quindi in quei punti è applicabile il teorema di Dini. Il mio dubbio sta nel fatto che il teorema di Dini mi garantisce che per ognuno di quei punti esiste un intorno in cui esiste un unica $y(x)$ (unica ...

Scusate a tutti, sto studiando un paper per un esame e non mi è chiaro un passaggio che l'autore fa. Data $U \subset \CC$ palla, sia $f:U \to \CC$ un polinomio di grado $d >= 2$, supponiamo che $|f'| >= \alpha > 0$ su tutto $U$ e sia poi $\gamma: [0,1] \to U$ la retta che collega due punti $x,y \in U$. Supponiamo inoltre che $f'$ non vari più di $1/2 \alpha^2$ su $U$. L'autore allora sputa fuori le seguenti ...

Provo ad esplicitare tutti i miei dubbi con questo problema (ma anche riguardo la situazione più generale...): $f(x,y)={ ( (x^2+y^2)/(pi+2arctan(y/x)), x!=0 ),( y^2/(2pi), x=0):}$ devo studiare la continuità di questa funzione in $(0,0)$, in altre parole quindi verificare che il limite esista e sia 0. Mi concentro sulla funzione di sopra e provo con le coordinate polari: $f(r, theta)=(r^2)/(pi+2theta)$ E quindi ho sostituito $theta=arctan(tan theta)$ dove, in questo caso, ho che $theta$ varia in $(-pi/2,pi/2]$, che è l'insieme immagine ...

Stavo cercando di capire come si dimostrasse che i polinomi a più variabili fossero differenziabili ovunque e cercando sul web ho trovato questa domanda su math.stackexchange Però non ho capito bene la risposta di Aloizio: You can think of a polynomial function (*) in $\mathbb{R}^n$ as a composition of multiplications and sums of the projections $\pi_i$ and constant maps (**). That this is differentiable follows from differentiability of the projections ...

Ho il seguente problema: Data la funzione $f(x) = {(log(1+x)/(x^\alpha),if x>0),(e^(2x)+\alpha*cosx,if x<=0):}$ per quali valori di $\alpha in RR$ ammette primitiva? La mia soluzione: se $\alpha > 1$ $lim_(x->0^-)f(x)=1+\alpha$ e $lim_(x->0^+)f(x) = +oo$ $rArr$ discontinuità di seconda specie è una funzione derivata $rArr$ ammette primitiva. per $\alpha <= 1$ poiché $lim_(x->0^-)f(x)=1+\alpha$ e$lim_(x->0^+)f(x)=lim_(x->0^+) f(x)=x^(1-\alpha)={(1,if \alpha=1),(0,if x<1):}$ $rArr$ discontinuità di prima specie (salto) $rArr$ non ammette primitiva. per ...