Differenziabilità di polinomi a più variabili

[SwitchArio]

Stavo cercando di capire come si dimostrasse che i polinomi a più variabili fossero differenziabili ovunque e cercando sul web ho trovato questa domanda su math.stackexchange
Però non ho capito bene la risposta di Aloizio:

You can think of a polynomial function (*) in $\mathbb{R}^n$ as a composition of multiplications and sums of the projections $\pi_i$ and constant maps (**).

That this is differentiable follows from differentiability of the projections and sums/products of differentiable functions.

Fin qui okay, ad esempio posso pensare $x+yz^3$ come $\pi_x+\pi_y\cdot\pi_z^3$, dove in generale $\pi_k(k)=k$

(*) Sidenote - a polynomial of $n$ variables is not, in general, a polynomial function $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. It has a more "formal" character.

1. Qui non ho capito che intenda dicendo "un polinomio di $n$ variabili in generale non è una funzione polinomiale"
2. Non ho capito qual è questo more "formal" character che accenna

(**) Sidenote 2 - To give an explicit definition:

Define a finite R-multi-index $I$ to be an element of $\mathbb{R} \times \mathbb{N}^n$, and $M^I: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ to be $M^I:=c \pi_1^{j_1} \cdots \pi_n ^{j_n},$ where $I=(c,j_1,\cdots, j_n)$ is a finite R-multi-index. Now, $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is a polynomial function if there exists a finite amount $N$ of finite R-multi-indices $I_i$ such that
$$f=\sum_{i=1}^N M^{I_i}.$$

questo l'ho capito mentre scrivevo questa domanda, era solo la notazione che mi aveva confuso, quindi tutto qui tutto okay

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La vera domanda che ti devi porre è: cos'è un polinomio di $n$ variabili?

Un polinomio di $n$ variabili con coefficienti reali è una funzione $f:NN^n to RR$ che è diversa da zero solo su un sottoinsieme finito di $NN^n$. (Dove sto considerando $0 in NN$).
In altre parole l'insieme [tex]\{(i_1,\ldots,i_n) \in \mathbb{N}^n\ |\ f(i_1,\ldots,i_n) \neq 0\}[/tex] è finito.

Di solito, il polinomio rappresentato dalla funzione $f$ di cui sopra si indica con

[tex]\sum_{(i_1,\ldots,i_n) \in \mathbb{N}^n} f(i_1,\ldots,i_n) X_1^{i_1} \ldots X_n^{i_n}[/tex].

In questo modo, $f(i_1,...,i_n)$ è interpretato come "il coefficiente di [tex]X_1^{i_1} \ldots X_n^{i_n}[/tex]". Per definizione, questa qui sopra è una somma finita. Ma la rappresentazione del polinomio come somma di monomi è solo notazione, d'altra parte la notazione è utile per poter dare senso alla definizione di prodotto tra polinomi.

In breve, un polinomio è la sequenza dei suoi coefficienti, ognuno etichettato col suo monomio corrispondente.

[SwitchArio]

Okay, tutto chiaro, in effetti per identificare un polinomio mi bastano i suoi coefficienti etichettati col loro monomio.

Nella tua definizione non hai mai parlato di grado del polinomio, ma il fatto che il polinomio abbia un grado $k$ ben definito segue dal fatto che l'insieme [tex]A=\{(i_1,\ldots,i_n) \in \mathbb{N}^n\ |\ f(i_1,\ldots,i_n) \neq 0\}[/tex] è finito ?
E quindi esiste sempre un massimo dell'insieme $\{i_1+\cdots+i_n|\(i_1,\ldots,i_n) \in A\}$ ?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Sì