Criterio di convergenza assoluta per serie numeriche
Buongiorno,
ho un dubbio riguardo il criterio di convergenza assoluta per serie numeriche.
Stavo guardando la correzione di un tema d'esame e ho notato il seguente esercizio:
TESTO:
Determinare per quali valori di $x in RR$ la serie $\sum_{n=2}^(+oo) (x^2-2x)^n(n^2+log(n))/(n^3-1)$
converge, specificando se si tratta di convergenza assoluta.
Ora, come prima cosa viene considerata la serie $\sum_{n} abs(a_n)$ e viene detto che:
$abs(a_n)~~abs(x^2-2x)^n/n$
$abs(a_n)->+oo$ se $x in (-oo,1-sqrt(2))uu(1+sqrt(2),+oo)$.
A questo punto la correzione continua con lo studio della serie asserendo che per tali valori di $x$ essa non converge (né assolutamente né semplicemente).
Questa affermazione mi ha colpito perchè, da quanto avevo capito io, l'unica cosa che si può affermare è che la convergenza assoluta implica la convergenza semplice, mentre tutto il resto no.
Potreste aiutarmi a capire?
Grazie!
ho un dubbio riguardo il criterio di convergenza assoluta per serie numeriche.
Stavo guardando la correzione di un tema d'esame e ho notato il seguente esercizio:
TESTO:
Determinare per quali valori di $x in RR$ la serie $\sum_{n=2}^(+oo) (x^2-2x)^n(n^2+log(n))/(n^3-1)$
converge, specificando se si tratta di convergenza assoluta.
Ora, come prima cosa viene considerata la serie $\sum_{n} abs(a_n)$ e viene detto che:
$abs(a_n)~~abs(x^2-2x)^n/n$
$abs(a_n)->+oo$ se $x in (-oo,1-sqrt(2))uu(1+sqrt(2),+oo)$.
A questo punto la correzione continua con lo studio della serie asserendo che per tali valori di $x$ essa non converge (né assolutamente né semplicemente).
Questa affermazione mi ha colpito perchè, da quanto avevo capito io, l'unica cosa che si può affermare è che la convergenza assoluta implica la convergenza semplice, mentre tutto il resto no.
Potreste aiutarmi a capire?
Grazie!
Risposte
Ciao, se $|a_n|$ tende a infinito allora certamente $a_n$ non tende a zero, no?
Ciao! Come ha detto Martino, vale che $a_n \to 0$ se e solo se $|a_n| \to 0$ (prova a dimostrarlo se non ti convince)
Dato che se una serie $\sum a_n$ converge, necessariamente il suo termine generale deve tendere a zero, sicuramente la tua serie non converge se $x \in (-\infty, 1-\sqrt2) \cup (1+\sqrt2, +\infty)$.
[in generale, la condizione necessaria per serie qualsiasi è: data $\sum a_n$, se tale serie converge, allora $\lim_n |a_n| = 0$ ]
Per $x \in (1-\sqrt2, 1+\sqrt2)$ la tua serie converge assolutamente, dato che brutalmente si comporta come una geometrica.
Per $x = 1-\sqrt2$, sostituendo nella serie, ottieni $\sum (-1)^n (n^2 +\log n)/(n^3 - 1)$, che puoi dimostrare convergere per Leibniz (brutalmente è una roba del tipo $\sum ((-1)^n)/n$)
Invece per $x = 1+\sqrt2$, ottieni $\sum (n^2 +\log n)/(n^3 - 1)$, che non converge per confronto asintotico con $\sum 1/n$.
Dato che se una serie $\sum a_n$ converge, necessariamente il suo termine generale deve tendere a zero, sicuramente la tua serie non converge se $x \in (-\infty, 1-\sqrt2) \cup (1+\sqrt2, +\infty)$.
[in generale, la condizione necessaria per serie qualsiasi è: data $\sum a_n$, se tale serie converge, allora $\lim_n |a_n| = 0$ ]
Per $x \in (1-\sqrt2, 1+\sqrt2)$ la tua serie converge assolutamente, dato che brutalmente si comporta come una geometrica.
Per $x = 1-\sqrt2$, sostituendo nella serie, ottieni $\sum (-1)^n (n^2 +\log n)/(n^3 - 1)$, che puoi dimostrare convergere per Leibniz (brutalmente è una roba del tipo $\sum ((-1)^n)/n$)
Invece per $x = 1+\sqrt2$, ottieni $\sum (n^2 +\log n)/(n^3 - 1)$, che non converge per confronto asintotico con $\sum 1/n$.
Grazie a entrambi, avete perfettamente ragione; avrei dovuto pensarci subito solo che, per come era scritta la correzione, pensavo che fosse qualcosa di direttamente legato alla convergenza della serie dei valori assoluti.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
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