Somma della serie armonica convergente
Salve a tutti, sto facendo degli esercizi sulle serie numeriche e mi è capitato un esercizio con questa serie
$ sum_(n = 1)((n+1)cos(n))/root(3)(n^(7) $
che, se non ho studiato male (sono autodidatta) è assolutamente equivalente, per n che tende a infinito, a
$ sum_(n = 1)1/n^(4/3) $
che, essendo una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1, converge e quindi anche la serie di partenza converge. Quello che non riesco a calcolare è la somma della serie per n che tende a infinito. qualcuno mi può spiegare come si calcola?
$ sum_(n = 1)((n+1)cos(n))/root(3)(n^(7) $
che, se non ho studiato male (sono autodidatta) è assolutamente equivalente, per n che tende a infinito, a
$ sum_(n = 1)1/n^(4/3) $
che, essendo una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1, converge e quindi anche la serie di partenza converge. Quello che non riesco a calcolare è la somma della serie per n che tende a infinito. qualcuno mi può spiegare come si calcola?
Risposte
Ciao! Che vuol dire "assolutamente equivalente"? Forse volevi dire "asontotica"? Se intendevi dire asintotica, non è vero che le due successioni sotto il segno di serie da te riportate sono asintotiche. Qual è la definizione di "\(a_n\) asintotica a \(b_n\)"?
Per il resto, in generale è difficile calcolare la somma di una serie. Solitamente, si sanno calcolare o le serie geometriche, o le serie telescopiche o altri rari casi. Questo non mi sembra un caso in cui è semplice stabilire la somma della serie.
Per il resto, in generale è difficile calcolare la somma di una serie. Solitamente, si sanno calcolare o le serie geometriche, o le serie telescopiche o altri rari casi. Questo non mi sembra un caso in cui è semplice stabilire la somma della serie.
Ciao! Immagino che con "assolutamente equivalente" intendi dire che la serie da te proposta converge assolutamente perché hai che:
$0 <= \sum | ((n+1)\cos n)/(n^(7/3)) | <= \sum (n+1)/(n^(7/3)) $,
in quanto $|\cos n| <= 1$, e la serie a destra è convergente, in quanto asintoticamente equivalente a $\sum 1/(n^(4/3)) $.
Attento che nella tua serie di partenza non puoi neanche usare il criterio del confronto asintotico, in quanto si tratta di una serie non a segno definitivamente costante ($\cos n$ cambia segno in continuazione).
Invece $\sum | ((n+1)\cos n)/(n^(7/3)) |$ non è asintoticamente equivalente a $\sum 1/(n^(4/3)) $, in quanto se vai a calcolare il
$\lim_(n \to +\infty) ( ((n+1) |\cos n|)/(n^(7/3)) )/(1/(n^(4/3))) = \lim_(n \to +\infty) |\cos n|$ che non esiste, in particolare può variare tra 0 e 1 compresi.
Ricorda che due serie a segno costante $\sum a_n$ e $\sum b_n$ sono asitonticamente equivalenti se $\lim_n a_n /b_n \in (0,+\infty)$, estremi esclusi; cosa che non accade nel tuo caso, in quanto $|\cos n|$ può benissimo fare zero.
(in realtà, in questo caso puoi comunque concludere col confronto asintotico, in quanto anche se il limite facesse 0, ciò vorebbe dire che definitivamente $a_n <= b_n$, da cui la convergenza tramite confronto classico)
$0 <= \sum | ((n+1)\cos n)/(n^(7/3)) | <= \sum (n+1)/(n^(7/3)) $,
in quanto $|\cos n| <= 1$, e la serie a destra è convergente, in quanto asintoticamente equivalente a $\sum 1/(n^(4/3)) $.
Attento che nella tua serie di partenza non puoi neanche usare il criterio del confronto asintotico, in quanto si tratta di una serie non a segno definitivamente costante ($\cos n$ cambia segno in continuazione).
Invece $\sum | ((n+1)\cos n)/(n^(7/3)) |$ non è asintoticamente equivalente a $\sum 1/(n^(4/3)) $, in quanto se vai a calcolare il
$\lim_(n \to +\infty) ( ((n+1) |\cos n|)/(n^(7/3)) )/(1/(n^(4/3))) = \lim_(n \to +\infty) |\cos n|$ che non esiste, in particolare può variare tra 0 e 1 compresi.
Ricorda che due serie a segno costante $\sum a_n$ e $\sum b_n$ sono asitonticamente equivalenti se $\lim_n a_n /b_n \in (0,+\infty)$, estremi esclusi; cosa che non accade nel tuo caso, in quanto $|\cos n|$ può benissimo fare zero.
(in realtà, in questo caso puoi comunque concludere col confronto asintotico, in quanto anche se il limite facesse 0, ciò vorebbe dire che definitivamente $a_n <= b_n$, da cui la convergenza tramite confronto classico)
@Lebesgue Si con assolutamente convergente intendo che la somma del valore assoluto converge. Ho capito la spiegazione sulla convergenza ma quello che vorrei cercare di capire è: se la serie è convergente, a quale valore converge? C'è un criterio per calcolare la ridptta di una serie armonica generalizzata convergente?
purtroppo, come ti ha già detto Mephlip, i valori espliciti a cui convergono le serie sono perlopiù ignoti.
E, per quelli di cui si sanno, ci sono voluti secoli e millenni di studi.
Quindi no, non c'è un modo per calcolare la somma della serie in questo caso.
E, per quelli di cui si sanno, ci sono voluti secoli e millenni di studi.
Quindi no, non c'è un modo per calcolare la somma della serie in questo caso.
Ah quindi in questi casi ci si limita ad studiare solo il carattere della serie?
esattamente: sai dire se converge o meno, ma non sai calcolare esplicitamente il limite (a meno che non espressamente richiesto dal testo dell'esercizio, ad esempio se hai a che fare con una serie geometrica)
Scusate intromissione, vorrei testare un Framework di matematica innovativo, chi mi può aiutare? Io non sono un matematico, ma testando con tutti i problemi che trovo qui in chat, da sempre soluzioni veritiere ed offre, soluzioni alternative, avvolte piú rapide.
Grazie in anticipo
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