Dubbio uguaglianze polinomiali su $\CC$

[Lebesgue]

Scusate a tutti, sto studiando un paper per un esame e non mi è chiaro un passaggio che l'autore fa.

Data $U \subset \CC$ palla, sia $f:U \to \CC$ un polinomio di grado $d >= 2$, supponiamo che $|f'| >= \alpha > 0$ su tutto $U$ e sia poi $\gamma: [0,1] \to U$ la retta che collega due punti $x,y \in U$.
Supponiamo inoltre che $f'$ non vari più di $1/2 \alpha^2$ su $U$.

L'autore allora sputa fuori le seguenti uguaglianze:

$|f(y) - f(x)| = | \int_0^1 (f\gamma)' dt | = | \int_0^1 f'(\gamma(t) ) \gamma'(t) dt | = |y-x| |\int_0^1 f'(\gamma(t)) dt | $

Ciò che non mi torna è l'ultima uguaglianza: è come se facesse una specie di integrazione per parti, ma strana...

Inoltre poi afferma che da questa cosa è possibile ricavare che:

$|( (|f(y)-f(x)|)/(|y-x|) - |f'(x)| ) | < 1/2 \alpha^2 $.

La mia domanda è: questa cosa non è ovvia dal fatto che $f$ è un polinomio e so che su $U$ la derivata non può variare più di quella quantità?

Grazie

P.s. Il riferimento del paper è: The dimensions of Maximal measure for a polynomial map, by A. Manning, Lemma

[gugo82]

"A occhio", se $gamma$ è il segmento di estremi $x$ ed $y$, allora:

$gamma(t) = x + t(y-x)$

quindi:

$gamma^\prime (t) = y - x$

è costante e si può portare fuori dal segno d'integrale... Che dici, funziona?
Secondo me funziona anche senza i moduli, cioè vale:

$f(y) - f(x) = \int_{gamma} f^\prime (z) "d" z = \int_0^1 f^\prime (gamma(t)) gamma^\prime (t) "d" t = (y - x) \int_0^1 f^\prime (gamma (t)) "d" t$

perché è il T.F.C.I. applicato alla funzione complessa $f^\prime$.


L'altra mi pare disuguaglianza triangolare o roba simile: infatti dalla precedente ricavi:

$(f(y) - f(x))/(y-x) = \int_0^1 f^\prime (gamma (t)) "d" t $

e d'altra parte per ovvi motivi è:

$f^\prime (x) = \int_0^1 f^\prime (x) "d" t$;

dunque:

$(f(y) - f(x))/(y-x) - f^\prime (x) = \int_0^1 (f^\prime (gamma (t)) - f^\prime (x)) "d" t$

da cui, passando al modulo ed usando la disuguaglianza triangolare nell'integrale, si trova:

$| (f(y) - f(x))/(y-x) - f^\prime (x) | = |\int_0^1 (f^\prime (gamma (t)) - f^\prime (x)) "d" t| <= \int_0^1 |f^\prime (gamma (t)) - f^\prime (x)| "d" t <= \int_0^1 alpha^2/2 "d" t = alpha^2/2$

ed, usando la disuguaglianza triangolare inversa[nota]Cioè $| |z| - |zeta| | <= | z- zeta |$.[/nota] per minorare il primo membro, risulta:
\[
\left| \frac{|f(y) - f(x)|}{|y-x|} - |f^\prime (x)| \right| \leq \frac{\alpha^2}{2} \ldots
\]

Ti pare?

Sono tipo 12 anni che non faccio conti seri con la variabile complessa, quindi controlla.

[Lebesgue]

Grazie gugo! Sono idiota... quando andavo a calcolare $\gamma'(t)$, invece di derivare rispetto alla $t$, per motivi a me ignoti andavo a derivare rispetto alla $y$ (sarà la digestione post feste non ancora conclusa) e quindi non mi tornava nulla