Analisi matematica di base

Buongiorno a tutti, mi sto da poco approcciando al calcolo di integrali doppi ma ho un dubbio nell'affrontare un esercizio apparentemente semplice. Devo calcolare \( \int_\Omega \frac{y}{1+xy}\ \text{d} x \text{d} y \text{ }\Omega=[0,1]\text{x}[0,1] \) Il calcolo dell'integrale indefinito in se non mi crea (troppi) problemi ma se applico gli estremi di integrazione non so come fare, perche secondo i miei calcoli ottengo un ln(0)... Devo applicare il teorema che afferma che se un insieme è ...

Ciao a tutti, sto letteralmente impazzendo con il seguente esercizio: devo trovare il volume dell'intersezione tra il cono ed il cilindro aventi rispettivamente equazione \(\displaystyle C: z=2-\sqrt{x^2+y^2} \) \(\displaystyle Cil: (x-1)^2+y^2=1 \) con \(\displaystyle 0 \leq z \leq 2 \) Ho provato a ragionare così: posto \(\displaystyle D:= C \cap Cil \) si ha che \(\displaystyle Vol_{D} = \int \int \int_{D} 1 \, dx dy dz = \int \int_{Base_{D}} \bigg( 2-\sqrt{x^2+y^2} \bigg) \, dx dy = ...

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} = \]Nel caso di $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$, posso prima riscriverla come \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \] Si tratta di una serie a termini di segno alternato, per cui verifico se il criterio di Leibniz sia applicabile: \[ \frac{1}{\sqrt{n}} \geq 0 \qquad \forall n \geq 1 \qquad \text{OK} \] la successione $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ è decrescente; $ \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0 $ per $ n \to +\infty $. [/list:u:a99zbj6q] Il criterio di Liebniz è ...

Ho svolto questa equazione: y’=x+xy^2 e mi è uscita corretta [ tan(x^2/2 +c) ]; il problema è che ho anche messo come soluzione, la sua soluzione stazionaria, ovvero zero, se non sbaglio, ma tra le soluzioni non risulta. È la seconda volta che mi capita (l’altra funzione era: y’=yx^2) e vorrei capire il perché. Come so che devo scartare la soluzione stazionaria? Grazie in anticipo!

Si consideri $ t \geq 0 $ e la seguente funzione \[ f(t) = \int_{0}^{t} \max \left(0, \sin (x) \right) \] Mi vengono posti i quesiti seguenti: - Verificare che la funzione sia effettivamente definita su tutto $ \mathbb{R}^+ $; - Calcolare i seguenti limiti: $ \lim_{t \to +\infty} f(t) $, $ \lim_{t \to 0} f(t) $. [/list:u:3bst3z56] Per il primo quesito, riscrivo $ f(t) $ come \[ f(t) = \int_{0}^{t} g(x) \,dx \] dove $ g(x) = \max \left(0, \sin (x) \right) $, che posso anche scrivere come una funzione definita a ...

Ciao a tutti, avrei un contarello che non mi torna proprio, in particolare il prof dice che il prodotto di due campi (che a breve vi mostrerò) dovrebbe essere nullo. Ma a me non torna. Dopo vari conti sono arrivato ad avere per la componente x dei campo $E_(0x)=-iCalpha(mpi)/acos(mpi/ax)sin(npi/by)$ e $B_(0x)=iCepsilon_rmu_rk/c(npi)/bsin(mpi/ax)cos(npi/by)$ Si deve svolgere $vecE*vecB=0$ ma a me non sembra annullarsi quella componente Non capisco se sbaglio solo il conto ma ho provato un po' di identità trigonometriche

Salve a tutti. Sto cercando di calcolare $ \lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{1}{n^2}}-1}{\sin \left(\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{x}} $. Ho notato che si tratta di una forma indeterminata $ \frac{0}{0} $. Potrei applicare de l'Hopital, ma sospetto che verrà un calcolo mostruoso. Noto però che, per i limiti notevoli, \[ e^{\frac{1}{n^2}} \sim \frac{1}{n^2} \] [nota]$\frac{1}{n^2} \to 0 $ per $ n \to +\infty $[/nota]. e che \[ \sin \left( \frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n} \] [nota]$\frac{1}{n} \to 0 $ per $ n \to +\infty $[/nota]. Sostituendo tutto all'interno del limite che ...

Salve a tutti. Come da titolo, sto studiando $ f(x) = | x | + \sin \left( | x | \right) $ e avrei bisogno di un controllo. Si tratta di una funzione continua in tutto $ \mathbb{R} $, in quanto somma di una funzione continua in $ \mathbb{R} $ ( $ | x | $ ) e di una composizione di funzioni continue ( $ \sin \left( | x | \right) $). Noto la presenza di valori assoluti e di una funzione trigonometrica, quindi mi chiedo immediatamente se la funzione è pari e/o periodica. \[ f (-x) = | - x | + \sin \left( | -x | \right) = ...

Ho fatto lo studio di $ f(x) = \frac{|x-1|}{x^4}+ \frac{1}{10x^4} $ fino alla derivata prima e avrei bisogno di un controllo, se siete disposti. Questa funzione può essere scritta come una funzione definita a tratti: \[ f (x) = \begin{cases} \frac{-(x-1)}{x^4} + \frac{1}{10x^4} & \text{se} \; x-1 < 0 \\ \frac{+(x-1)}{x^4} + \frac{1}{10x^4} & \text{se} \; x-1 \ge 0 \\ \end{cases} \] ossia, semplificando: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{11-10x}{10x^4} & \text{se} \; x < 1 \\ \frac{10x-9}{10x^4} & \text{se} \; x \ge 1 ...

Salve. Allora, sto cercando di dimostrare alcune cose sulle funzioni periodiche. Non trovavo le dimostrazioni da nessuna parte quindi ho fatto da me, chiedo venia in anticipo se ho scritto qualche orrore: (Ringrazio infinitamente chiunque si prenda la pazienza di leggere tutto e, magari, correggermi!) Se $f$ è una funzione periodica di periodo $\tau$. Allora tutti e soli i periodi di $f$ sono della forma $k\tau$, con $k$ in ...

Consideriamo la funzione $f : RR^2 \to RR$ definita da $f(x,y) = \frac{1}{2}x^2y^3-xy^2+\frac{1}{2}y^2$ ed il punto $P=(\frac{1}{2},0)$. Si ha che $\nabla f(x,y) = (xy^3-y^2, \frac{3}{2}x^2y^2-2xy+y)$, da cui $\nabla f (P) = (0,0)$, dunque $P$ è un punto critico per $f$. Si ha che $H f (x,y) = ((y^3,3xy^2-2y),(3xy^2-2y,3x^2y-2x+1))$, da cui $H f (P) = ((0,0),(0,0))$, dunque il criterio dell'Hessiana non ci consente di studiare la natura del punto critico $P$. Consideriamo allora la funzione $g(x,y) = f(x,y) - f(P) = \frac{1}{2}x^2y^3-xy^2+\frac{1}{2}y^2$. Consideriamo la restrizione della funzione ...

Come da titolo. Dato che \[ \left( \frac{1}{n} \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{\frac{1}{n}} \] posso applicare il criterio della radice... \[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1 \] ... con cui però nulla si può concludere. Sto sbagliando qualcosa?

Ciao a tutti, sono alle prese con il seguente integrale: \(\displaystyle \int \sqrt{1+x^2} dx \) Una soluzione che ho trovato, piuttosto macchinosa, è quella di procedere per sostituzione come segue: \(\displaystyle t - x := \sqrt{1+x^2} \) Infatti, quadrando ambo i membri tale relazione ed effettuando alcuni calcoli algebrici di base, si ottiene: \(\displaystyle x = \frac{t^2-1}{2t} \) Sostituendo poi nell'integrale tutto fila abbastanza liscio, ma come dicevo è molto noioso a livello ...

Bisogna discutere il carattere della serie al variare del parametro $\alpha > 0$. La verifica della condizione necessaria per la convergenza è banalmente rispettata per ogni $\alpha$. Vista la presenza di tale parametro, la mia idea era quella di confrontare la serie data con quella armonica generalizzata, ossia $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}$. Dunque $\lim_{n->\infty} (\frac{\sqrt{n} + \frac{1}{2\sqrt{n}} - \sqrt{n+1}}{\frac{1}{n}})^\alpha$ $= \lim_{n->\infty} (\frac{2n^2 + n -2n\sqrt{n^2 + n}}{2\sqrt{n}})^\alpha$ $= \lim_{n->\infty} (n^(3/2) + 1/2n^(1/2) - \sqrt{n^3 + n^2})^\alpha = \infty$ Per $\alpha \leq 1$ la serie armonica generalizzata diverge, quindi anche quella ...

Devo studiare la seguente funzione: \[ f(x) = \begin{cases} \left| xe^{\frac{1}{x-1}} \right| & \text{se } x \neq 1 \\ 0 & \text{se } x = 1 \end{cases} = \begin{cases} g(x) & \text{se } x \neq 1 \\ 0 & \text{se } x = 1 \end{cases} \] (a me è venuta un po' di fifa a primo impatto) Punto 1: in quali punti la funzione considerata è continua e derivabile? Analizzo $ g(x) = | xe^{\frac{1}{x-1}} | $ e scopro che non è continua per $ x = 1 $. Non c'è nulla di particolare riguardo ...

Si propone il seguente lemma: "Chiamiamo $ a_n \in \mathbb{R} $ la quantità di denaro presente al mese $ n $ sul conto corrente del signor $ X $. Si determini $ lim_{n \to +\infty} a_n $ sapendo che ogni mese il signor $ X $ deposita sul suo conto 2000 ma successivamente perde $ \frac{1}{10} $ del totale depositato a causa di investimenti miracolosi in Bitcoin che trova consigliati sui social networks." Le possibili risposte sono: 0 Il limite non esiste 18000 ...

Buonasera a tutti, sto leggendo il testo 'analisi tre' di Gianni Gilardi e, a pagina 349, viene proposto il seguente fatto: Se $u_k\to u$ nel senso delle distribuzioni e se $v\in \mathcal{D}$, allora: $$\lim_{k\to\infty}\int u_k(y)v(x-y)\mathrm{d}y = \int u(y)v(x-y)\mathrm{d}y$$ uniformemente su ogni compatto di $\mathbb{R}^n$. Inoltre, la stessa conclusione vale se $u_k\to u$ nel senso delle distribuzioni a supporto compatto e ...

Come da titolo, devo calcolare la derivata prima di questa funzione. $ f(x) $ posso riscriverla come \[ f(x) = \begin{cases} x & \text{se } x > 0 \\ \sin x & \text{se } x \leq 0 \end{cases} \] La derivata prima è la stessa funzione condizionale con però le funzioni al suo interno derivate?

Ciao e buon anno a tutti. Come da titolo, mi sono imbattuto in questo quesito, che costituisce la seconda parte di un esercizio. La prima parte consisteva nel calcolo di \[ \int_{1}^{2} \frac{e^{3x}}{e^{6x}-1}\,dx\] che è uguale a \[ - \frac{1}{6} \log \left( e^6 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^3 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^6 - 1\right) - \frac{1}{6} \log \left( e^3 - 1\right) \]. Ora, per la risoluzione di integrali impropri di quel tipo, teoricamente è necessario ...

Ciao, qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come impostare la risoluzione di questo integrale doppio? Grazie in anticipo. $ int int_(D) (1/sqrt(x^2+y^2)) dx dy $ dove $ D = {(x,y)in R^2, x>=0, y<=0, x^2+y^2>=1/2, x<= 1+y } $ Ho provato con la sostituzione in coordinate polari ma non ho concluso nulla, il dominio la regione compresa tra l'arco di circonferenza e la retta $ 1+y $.