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pincopallino042
Salve a tutti. Sto cercando di calcolare $ \lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{1}{n^2}}-1}{\sin \left(\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{x}} $. Ho notato che si tratta di una forma indeterminata $ \frac{0}{0} $. Potrei applicare de l'Hopital, ma sospetto che verrà un calcolo mostruoso. Noto però che, per i limiti notevoli, \[ e^{\frac{1}{n^2}} \sim \frac{1}{n^2} \] [nota]$\frac{1}{n^2} \to 0 $ per $ n \to +\infty $[/nota]. e che \[ \sin \left( \frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n} \] [nota]$\frac{1}{n} \to 0 $ per $ n \to +\infty $[/nota]. Sostituendo tutto all'interno del limite che ...
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7 gen 2024, 16:47

pincopallino042
Salve a tutti. Come da titolo, sto studiando $ f(x) = | x | + \sin \left( | x | \right) $ e avrei bisogno di un controllo. Si tratta di una funzione continua in tutto $ \mathbb{R} $, in quanto somma di una funzione continua in $ \mathbb{R} $ ( $ | x | $ ) e di una composizione di funzioni continue ( $ \sin \left( | x | \right) $). Noto la presenza di valori assoluti e di una funzione trigonometrica, quindi mi chiedo immediatamente se la funzione è pari e/o periodica. \[ f (-x) = | - x | + \sin \left( | -x | \right) = ...
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5 gen 2024, 12:17

ncant04
Ho fatto lo studio di $ f(x) = \frac{|x-1|}{x^4}+ \frac{1}{10x^4} $ fino alla derivata prima e avrei bisogno di un controllo, se siete disposti. Questa funzione può essere scritta come una funzione definita a tratti: \[ f (x) = \begin{cases} \frac{-(x-1)}{x^4} + \frac{1}{10x^4} & \text{se} \; x-1 < 0 \\ \frac{+(x-1)}{x^4} + \frac{1}{10x^4} & \text{se} \; x-1 \ge 0 \\ \end{cases} \] ossia, semplificando: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{11-10x}{10x^4} & \text{se} \; x < 1 \\ \frac{10x-9}{10x^4} & \text{se} \; x \ge 1 ...
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7 gen 2024, 01:06

mario998
Salve. Allora, sto cercando di dimostrare alcune cose sulle funzioni periodiche. Non trovavo le dimostrazioni da nessuna parte quindi ho fatto da me, chiedo venia in anticipo se ho scritto qualche orrore: (Ringrazio infinitamente chiunque si prenda la pazienza di leggere tutto e, magari, correggermi!) Se $f$ è una funzione periodica di periodo $\tau$. Allora tutti e soli i periodi di $f$ sono della forma $k\tau$, con $k$ in ...
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4 gen 2024, 21:51

thedarkhero
Consideriamo la funzione $f : RR^2 \to RR$ definita da $f(x,y) = \frac{1}{2}x^2y^3-xy^2+\frac{1}{2}y^2$ ed il punto $P=(\frac{1}{2},0)$. Si ha che $\nabla f(x,y) = (xy^3-y^2, \frac{3}{2}x^2y^2-2xy+y)$, da cui $\nabla f (P) = (0,0)$, dunque $P$ è un punto critico per $f$. Si ha che $H f (x,y) = ((y^3,3xy^2-2y),(3xy^2-2y,3x^2y-2x+1))$, da cui $H f (P) = ((0,0),(0,0))$, dunque il criterio dell'Hessiana non ci consente di studiare la natura del punto critico $P$. Consideriamo allora la funzione $g(x,y) = f(x,y) - f(P) = \frac{1}{2}x^2y^3-xy^2+\frac{1}{2}y^2$. Consideriamo la restrizione della funzione ...
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4 gen 2024, 22:12

ncant04
Come da titolo. Dato che \[ \left( \frac{1}{n} \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{\frac{1}{n}} \] posso applicare il criterio della radice... \[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1 \] ... con cui però nulla si può concludere. Sto sbagliando qualcosa?
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5 gen 2024, 14:19

xineohp
Ciao a tutti, sono alle prese con il seguente integrale: \(\displaystyle \int \sqrt{1+x^2} dx \) Una soluzione che ho trovato, piuttosto macchinosa, è quella di procedere per sostituzione come segue: \(\displaystyle t - x := \sqrt{1+x^2} \) Infatti, quadrando ambo i membri tale relazione ed effettuando alcuni calcoli algebrici di base, si ottiene: \(\displaystyle x = \frac{t^2-1}{2t} \) Sostituendo poi nell'integrale tutto fila abbastanza liscio, ma come dicevo è molto noioso a livello ...
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20 dic 2023, 11:43

CosenTheta
Bisogna discutere il carattere della serie al variare del parametro $\alpha > 0$. La verifica della condizione necessaria per la convergenza è banalmente rispettata per ogni $\alpha$. Vista la presenza di tale parametro, la mia idea era quella di confrontare la serie data con quella armonica generalizzata, ossia $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}$. Dunque $\lim_{n->\infty} (\frac{\sqrt{n} + \frac{1}{2\sqrt{n}} - \sqrt{n+1}}{\frac{1}{n}})^\alpha$ $= \lim_{n->\infty} (\frac{2n^2 + n -2n\sqrt{n^2 + n}}{2\sqrt{n}})^\alpha$ $= \lim_{n->\infty} (n^(3/2) + 1/2n^(1/2) - \sqrt{n^3 + n^2})^\alpha = \infty$ Per $\alpha \leq 1$ la serie armonica generalizzata diverge, quindi anche quella ...
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1 gen 2024, 21:26

ncant04
Devo studiare la seguente funzione: \[ f(x) = \begin{cases} \left| xe^{\frac{1}{x-1}} \right| & \text{se } x \neq 1 \\ 0 & \text{se } x = 1 \end{cases} = \begin{cases} g(x) & \text{se } x \neq 1 \\ 0 & \text{se } x = 1 \end{cases} \] (a me è venuta un po' di fifa a primo impatto) Punto 1: in quali punti la funzione considerata è continua e derivabile? Analizzo $ g(x) = | xe^{\frac{1}{x-1}} | $ e scopro che non è continua per $ x = 1 $. Non c'è nulla di particolare riguardo ...
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3 gen 2024, 18:21

ncant04
Si propone il seguente lemma: "Chiamiamo $ a_n \in \mathbb{R} $ la quantità di denaro presente al mese $ n $ sul conto corrente del signor $ X $. Si determini $ lim_{n \to +\infty} a_n $ sapendo che ogni mese il signor $ X $ deposita sul suo conto 2000 ma successivamente perde $ \frac{1}{10} $ del totale depositato a causa di investimenti miracolosi in Bitcoin che trova consigliati sui social networks." Le possibili risposte sono: 0 Il limite non esiste 18000 ...
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3 gen 2024, 12:47

Silente
Buonasera a tutti, sto leggendo il testo 'analisi tre' di Gianni Gilardi e, a pagina 349, viene proposto il seguente fatto: Se $u_k\to u$ nel senso delle distribuzioni e se $v\in \mathcal{D}$, allora: $$\lim_{k\to\infty}\int u_k(y)v(x-y)\mathrm{d}y = \int u(y)v(x-y)\mathrm{d}y$$ uniformemente su ogni compatto di $\mathbb{R}^n$. Inoltre, la stessa conclusione vale se $u_k\to u$ nel senso delle distribuzioni a supporto compatto e ...
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3 gen 2024, 16:30

ncant04
Come da titolo, devo calcolare la derivata prima di questa funzione. $ f(x) $ posso riscriverla come \[ f(x) = \begin{cases} x & \text{se } x > 0 \\ \sin x & \text{se } x \leq 0 \end{cases} \] La derivata prima è la stessa funzione condizionale con però le funzioni al suo interno derivate?
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2 gen 2024, 12:57

ncant04
Ciao e buon anno a tutti. Come da titolo, mi sono imbattuto in questo quesito, che costituisce la seconda parte di un esercizio. La prima parte consisteva nel calcolo di \[ \int_{1}^{2} \frac{e^{3x}}{e^{6x}-1}\,dx\] che è uguale a \[ - \frac{1}{6} \log \left( e^6 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^3 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^6 - 1\right) - \frac{1}{6} \log \left( e^3 - 1\right) \]. Ora, per la risoluzione di integrali impropri di quel tipo, teoricamente è necessario ...
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31 dic 2023, 16:56

Pylord
Ciao, qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come impostare la risoluzione di questo integrale doppio? Grazie in anticipo. $ int int_(D) (1/sqrt(x^2+y^2)) dx dy $ dove $ D = {(x,y)in R^2, x>=0, y<=0, x^2+y^2>=1/2, x<= 1+y } $ Ho provato con la sostituzione in coordinate polari ma non ho concluso nulla, il dominio la regione compresa tra l'arco di circonferenza e la retta $ 1+y $.
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29 dic 2023, 13:53

ncant04
Ciao a tutti. Sto cercando di risolvere il seguente problema di Cauchy: \begin{cases} y^\prime = 3y - 1 \\ y(0) = 0 \end{cases}. Risolvendo l'equazione differenziale, ottengo $ y(t) = \frac{e^{3t+c} + 1}{3} $. Provando ad imporre la condizione iniziale $ y(0) = 0 $, ottengo però $ y(0) = \frac{e^c+1}{3} $ e da qui non so come trovare la $ c $ per la soluzione esatta. Ho chiesto ad un mio compagno e mi ha detto di procedere in questo modo: $ e ^ {3t + c} $ diventa $ c \cdot e^{3t} $, pertanto: ...
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16 dic 2023, 16:19

CosenTheta
Verifico la condizione necessaria per la convergenza $\lim_{n->\infty}(\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n) = 0^\infty = 0$ Dunque provo ad applicare il criterio del confronto asintotico (essendo la serie a termini positivi) scegliendo $a_n = (\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n)$, $b_n = \frac{1}{n^2}$ e dunque $\lim_{n->\infty}n^2(\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n) = \lim_{n->\infty}n^2\cdot n^{-1/2\log(n)} = \lim_{n->\infty} n^{2-1/2\log(n)} = +\infty^{-\infty} = 0$ Essendo la serie associata alla successione $b_n$ convergente, allora anche quella iniziale lo è. E' corretto?
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31 dic 2023, 11:37

garante
Ciao, cerco un aiuto su un esercizio, o meglio solo un passaggio per cui il Prof fa una approssimazione che non capisco benissimo.... SI ha $B=x^2-y^2$ e l ipoesi che $x \approx y$ Quindi: $(x+y)(x-y)\approx2x(x-y)$ Il mio dubbio sorge qui: perché x+y posso apporssimarlo come x+x=2x mentre x-y non posso scrivere x-x=0? Mi sembra che usi un diverso trattamento nei due casi. Anche numericamente in modo stupido direi sia $ x=1.000001$ e $y=1$, sotto questa ipotesi ...
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20 dic 2023, 13:25

ncant04
Come da titolo. La serie è a termini positivi. Non posso sfruttare il limite notevole $ \sin \varepsilon (x) ~ \varepsilon (x) $ in quanto nel nostro caso $ n $ non tende a 0 e nemmeno $ \left( 1 + \varepsilon (x) \right) ^ \alpha - 1 ~ \alpha \varepsilon (x) $ per lo stesso motivo. Ho provato con il criterio della radice, ma invano. Potete darmi una mano?
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21 dic 2023, 16:39

CosenTheta
Mi chiedevo se fosse possibile risolverlo con la serie di Taylor. Ponendo $n = m + 1$ e facendo riferimento allo sviluppo di $log(x + 1)$, ottengo $\lim_{m->\infty} \frac{log(m+1)}{(m+1)^2} = \lim_{m->\infty} \frac{log(m+1)}{(m+1)^2}$ $ = \lim_{m->\infty} \frac{m - \frac{m^2}{2} + \frac{m^3}{3} + o(m^3)}{m^2 + 2m + 1}$ Il procedimento sembra non funzionare, perché se spezzo la frazione ottengo il primo termine che si annulla, il secondo che tende a $-1/2$ e il terzo che è divergente, dunque dovrei concludere che tutto il limite è infinito quando sappiamo che è zero. Cosa non quadra?
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26 dic 2023, 12:34

CosenTheta
Ancor prima di postare ogni tentativo di applicazione dei vari criteri di convergenza per le serie, vorrei capire come verificare la condizione di convergenza, vale a dire $\lim_{n->\infty} \sqrt{n}[n\sin(\frac{1}{n}) - \cos^2(\frac{1}{n})]$ Ho tentato di mettere in evidenza $n$ ma rimango fermo alla forma $\infty \cdot 0$. Un suggerimento per iniziare?
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25 dic 2023, 22:21