Analisi matematica di base
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Salve a tutti. Sto cercando di calcolare $ \lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{1}{n^2}}-1}{\sin \left(\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{x}} $. Ho notato che si tratta di una forma indeterminata $ \frac{0}{0} $. Potrei applicare de l'Hopital, ma sospetto che verrà un calcolo mostruoso. Noto però che, per i limiti notevoli,
\[
e^{\frac{1}{n^2}} \sim \frac{1}{n^2}
\] [nota]$\frac{1}{n^2} \to 0 $ per $ n \to +\infty $[/nota].
e che
\[
\sin \left( \frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n}
\]
[nota]$\frac{1}{n} \to 0 $ per $ n \to +\infty $[/nota].
Sostituendo tutto all'interno del limite che ...

Salve a tutti. Come da titolo, sto studiando $ f(x) = | x | + \sin \left( | x | \right) $ e avrei bisogno di un controllo.
Si tratta di una funzione continua in tutto $ \mathbb{R} $, in quanto somma di una funzione continua in $ \mathbb{R} $ ( $ | x | $ ) e di una composizione di funzioni continue ( $ \sin \left( | x | \right) $). Noto la presenza di valori assoluti e di una funzione trigonometrica, quindi mi chiedo immediatamente se la funzione è pari e/o periodica.
\[
f (-x) = | - x | + \sin \left( | -x | \right) = ...
Ho fatto lo studio di $ f(x) = \frac{|x-1|}{x^4}+ \frac{1}{10x^4} $ fino alla derivata prima e avrei bisogno di un controllo, se siete disposti.
Questa funzione può essere scritta come una funzione definita a tratti:
\[
f (x) = \begin{cases}
\frac{-(x-1)}{x^4} + \frac{1}{10x^4} & \text{se} \; x-1 < 0 \\
\frac{+(x-1)}{x^4} + \frac{1}{10x^4} & \text{se} \; x-1 \ge 0 \\
\end{cases}
\]
ossia, semplificando:
\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{11-10x}{10x^4} & \text{se} \; x < 1 \\
\frac{10x-9}{10x^4} & \text{se} \; x \ge 1 ...

Salve.
Allora, sto cercando di dimostrare alcune cose sulle funzioni periodiche. Non trovavo le dimostrazioni da nessuna parte quindi ho fatto da me, chiedo venia in anticipo se ho scritto qualche orrore:
(Ringrazio infinitamente chiunque si prenda la pazienza di leggere tutto e, magari, correggermi!)
Se $f$ è una funzione periodica di periodo $\tau$. Allora tutti e soli i periodi di $f$ sono della forma $k\tau$, con $k$ in ...
Consideriamo la funzione $f : RR^2 \to RR$ definita da $f(x,y) = \frac{1}{2}x^2y^3-xy^2+\frac{1}{2}y^2$ ed il punto $P=(\frac{1}{2},0)$.
Si ha che $\nabla f(x,y) = (xy^3-y^2, \frac{3}{2}x^2y^2-2xy+y)$, da cui $\nabla f (P) = (0,0)$, dunque $P$ è un punto critico per $f$.
Si ha che $H f (x,y) = ((y^3,3xy^2-2y),(3xy^2-2y,3x^2y-2x+1))$, da cui $H f (P) = ((0,0),(0,0))$, dunque il criterio dell'Hessiana non ci consente di studiare la natura del punto critico $P$.
Consideriamo allora la funzione $g(x,y) = f(x,y) - f(P) = \frac{1}{2}x^2y^3-xy^2+\frac{1}{2}y^2$.
Consideriamo la restrizione della funzione ...
Come da titolo. Dato che \[ \left( \frac{1}{n} \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{\frac{1}{n}} \]
posso applicare il criterio della radice...
\[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1 \]
... con cui però nulla si può concludere.
Sto sbagliando qualcosa?

Ciao a tutti, sono alle prese con il seguente integrale:
\(\displaystyle \int \sqrt{1+x^2} dx \)
Una soluzione che ho trovato, piuttosto macchinosa, è quella di procedere per sostituzione come segue:
\(\displaystyle t - x := \sqrt{1+x^2} \)
Infatti, quadrando ambo i membri tale relazione ed effettuando alcuni calcoli algebrici di base, si ottiene:
\(\displaystyle x = \frac{t^2-1}{2t} \)
Sostituendo poi nell'integrale tutto fila abbastanza liscio, ma come dicevo è molto noioso a livello ...

Bisogna discutere il carattere della serie al variare del parametro $\alpha > 0$.
La verifica della condizione necessaria per la convergenza è banalmente rispettata per ogni $\alpha$.
Vista la presenza di tale parametro, la mia idea era quella di confrontare la serie data con quella armonica generalizzata, ossia $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}$.
Dunque
$\lim_{n->\infty} (\frac{\sqrt{n} + \frac{1}{2\sqrt{n}} - \sqrt{n+1}}{\frac{1}{n}})^\alpha$
$= \lim_{n->\infty} (\frac{2n^2 + n -2n\sqrt{n^2 + n}}{2\sqrt{n}})^\alpha$
$= \lim_{n->\infty} (n^(3/2) + 1/2n^(1/2) - \sqrt{n^3 + n^2})^\alpha = \infty$
Per $\alpha \leq 1$ la serie armonica generalizzata diverge, quindi anche quella ...
Devo studiare la seguente funzione:
\[
f(x) = \begin{cases}
\left| xe^{\frac{1}{x-1}} \right| & \text{se } x \neq 1 \\
0 & \text{se } x = 1
\end{cases} =
\begin{cases}
g(x) & \text{se } x \neq 1 \\
0 & \text{se } x = 1
\end{cases}
\]
(a me è venuta un po' di fifa a primo impatto)
Punto 1: in quali punti la funzione considerata è continua e derivabile?
Analizzo $ g(x) = | xe^{\frac{1}{x-1}} | $ e scopro che non è continua per $ x = 1 $. Non c'è nulla di particolare riguardo ...
Si propone il seguente lemma:
"Chiamiamo $ a_n \in \mathbb{R} $ la quantità di denaro presente al mese $ n $ sul conto corrente del signor $ X $. Si determini $ lim_{n \to +\infty} a_n $ sapendo che ogni mese il signor $ X $ deposita sul suo conto 2000 ma successivamente perde $ \frac{1}{10} $ del totale depositato a causa di investimenti miracolosi in Bitcoin che trova consigliati sui social networks."
Le possibili risposte sono:
0
Il limite non esiste
18000
...
Buonasera a tutti,
sto leggendo il testo 'analisi tre' di Gianni Gilardi e, a pagina 349, viene proposto il seguente fatto:
Se $u_k\to u$ nel senso delle distribuzioni e se $v\in \mathcal{D}$, allora:
$$\lim_{k\to\infty}\int u_k(y)v(x-y)\mathrm{d}y = \int u(y)v(x-y)\mathrm{d}y$$
uniformemente su ogni compatto di $\mathbb{R}^n$. Inoltre, la stessa conclusione vale se $u_k\to u$ nel senso delle distribuzioni a supporto compatto e ...
Come da titolo, devo calcolare la derivata prima di questa funzione. $ f(x) $ posso riscriverla come
\[
f(x) =
\begin{cases}
x & \text{se } x > 0 \\
\sin x & \text{se } x \leq 0
\end{cases}
\]
La derivata prima è la stessa funzione condizionale con però le funzioni al suo interno derivate?
Ciao e buon anno a tutti. Come da titolo, mi sono imbattuto in questo quesito, che costituisce la seconda parte di un esercizio.
La prima parte consisteva nel calcolo di
\[ \int_{1}^{2} \frac{e^{3x}}{e^{6x}-1}\,dx\]
che è uguale a
\[ - \frac{1}{6} \log \left( e^6 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^3 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^6 - 1\right) - \frac{1}{6} \log \left( e^3 - 1\right) \].
Ora, per la risoluzione di integrali impropri di quel tipo, teoricamente è necessario ...
Ciao, qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come impostare la risoluzione di questo integrale doppio? Grazie in anticipo.
$ int int_(D) (1/sqrt(x^2+y^2)) dx dy $ dove
$ D = {(x,y)in R^2, x>=0, y<=0, x^2+y^2>=1/2, x<= 1+y } $
Ho provato con la sostituzione in coordinate polari ma non ho concluso nulla, il dominio la regione compresa tra l'arco di circonferenza e la retta $ 1+y $.
Ciao a tutti. Sto cercando di risolvere il seguente problema di Cauchy:
\begin{cases}
y^\prime = 3y - 1 \\
y(0) = 0
\end{cases}.
Risolvendo l'equazione differenziale, ottengo $ y(t) = \frac{e^{3t+c} + 1}{3} $. Provando ad imporre la condizione iniziale $ y(0) = 0 $, ottengo però $ y(0) = \frac{e^c+1}{3} $ e da qui non so come trovare la $ c $ per la soluzione esatta. Ho chiesto ad un mio compagno e mi ha detto di procedere in questo modo:
$ e ^ {3t + c} $ diventa $ c \cdot e^{3t} $, pertanto: ...

Verifico la condizione necessaria per la convergenza
$\lim_{n->\infty}(\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n) = 0^\infty = 0$
Dunque provo ad applicare il criterio del confronto asintotico (essendo la serie a termini positivi) scegliendo
$a_n = (\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n)$, $b_n = \frac{1}{n^2}$
e dunque
$\lim_{n->\infty}n^2(\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n) = \lim_{n->\infty}n^2\cdot n^{-1/2\log(n)} = \lim_{n->\infty} n^{2-1/2\log(n)} = +\infty^{-\infty} = 0$
Essendo la serie associata alla successione $b_n$ convergente, allora anche quella iniziale lo è.
E' corretto?

Ciao, cerco un aiuto su un esercizio, o meglio solo un passaggio per cui il Prof fa una approssimazione che non capisco benissimo....
SI ha $B=x^2-y^2$ e l ipoesi che $x \approx y$
Quindi: $(x+y)(x-y)\approx2x(x-y)$
Il mio dubbio sorge qui: perché x+y posso apporssimarlo come x+x=2x mentre x-y non posso scrivere x-x=0?
Mi sembra che usi un diverso trattamento nei due casi.
Anche numericamente in modo stupido direi sia $ x=1.000001$ e $y=1$, sotto questa ipotesi ...
Come da titolo. La serie è a termini positivi. Non posso sfruttare il limite notevole $ \sin \varepsilon (x) ~ \varepsilon (x) $ in quanto nel nostro caso $ n $ non tende a 0 e nemmeno $ \left( 1 + \varepsilon (x) \right) ^ \alpha - 1 ~ \alpha \varepsilon (x) $ per lo stesso motivo. Ho provato con il criterio della radice, ma invano.
Potete darmi una mano?

Mi chiedevo se fosse possibile risolverlo con la serie di Taylor.
Ponendo $n = m + 1$ e facendo riferimento allo sviluppo di $log(x + 1)$, ottengo
$\lim_{m->\infty} \frac{log(m+1)}{(m+1)^2} = \lim_{m->\infty} \frac{log(m+1)}{(m+1)^2}$
$ = \lim_{m->\infty} \frac{m - \frac{m^2}{2} + \frac{m^3}{3} + o(m^3)}{m^2 + 2m + 1}$
Il procedimento sembra non funzionare, perché se spezzo la frazione ottengo il primo termine che si annulla, il secondo che tende a $-1/2$ e il terzo che è divergente, dunque dovrei concludere che tutto il limite è infinito quando sappiamo che è zero.
Cosa non quadra?

Ancor prima di postare ogni tentativo di applicazione dei vari criteri di convergenza per le serie, vorrei capire come verificare la condizione di convergenza, vale a dire
$\lim_{n->\infty} \sqrt{n}[n\sin(\frac{1}{n}) - \cos^2(\frac{1}{n})]$
Ho tentato di mettere in evidenza $n$ ma rimango fermo alla forma $\infty \cdot 0$.
Un suggerimento per iniziare?