Studio di funzione
Devo studiare la seguente funzione:
\[
f(x) = \begin{cases}
\left| xe^{\frac{1}{x-1}} \right| & \text{se } x \neq 1 \\
0 & \text{se } x = 1
\end{cases} =
\begin{cases}
g(x) & \text{se } x \neq 1 \\
0 & \text{se } x = 1
\end{cases}
\]
(a me è venuta un po' di fifa a primo impatto)
Punto 1: in quali punti la funzione considerata è continua e derivabile?
Analizzo $ g(x) = | xe^{\frac{1}{x-1}} | $ e scopro che non è continua per $ x = 1 $. Non c'è nulla di particolare riguardo $ y = 0 $ ...
Però mi accorgo che forse il fatto che $ f(x) $ faccia proprio 0 esattamente dove $ g(x) = | xe^{\frac{1}{x-1}} | $ non è continua in $ \mathbb{R} $ sia proprio per rendere $ f(x) $ continua in tutto $ \mathbb{R} $ (una toppa!)
Secondo voi sto concludendo qualcosa oppure mi dovrebbero rinchiudere in un manicomio?
\[
f(x) = \begin{cases}
\left| xe^{\frac{1}{x-1}} \right| & \text{se } x \neq 1 \\
0 & \text{se } x = 1
\end{cases} =
\begin{cases}
g(x) & \text{se } x \neq 1 \\
0 & \text{se } x = 1
\end{cases}
\]
(a me è venuta un po' di fifa a primo impatto)
Punto 1: in quali punti la funzione considerata è continua e derivabile?
Analizzo $ g(x) = | xe^{\frac{1}{x-1}} | $ e scopro che non è continua per $ x = 1 $. Non c'è nulla di particolare riguardo $ y = 0 $ ...
Però mi accorgo che forse il fatto che $ f(x) $ faccia proprio 0 esattamente dove $ g(x) = | xe^{\frac{1}{x-1}} | $ non è continua in $ \mathbb{R} $ sia proprio per rendere $ f(x) $ continua in tutto $ \mathbb{R} $ (una toppa!)
Secondo voi sto concludendo qualcosa oppure mi dovrebbero rinchiudere in un manicomio?
Risposte
Hai detto che in $x=1$ la funzione non è continua e che non c'è nulla di particolare riguardo il valore $0$ con cui è stata definita $f$ in $x=1$; è vero. Non tutti gli esercizi sono a trabocchetto.
Più che cercare di entrare nella mente di chi ha strutturato l'esercizio (pratica triste perché insulta la tua intelligenza e dà l'impressione che tu stia cercando delle scorciatoie), dovresti iniziare ad avere un modo più organico di studiare. Come ti dissi in un altro post, non stai affermando perché i problemi di continuità sono solamente in un punto: stai studiando (presumibilmente) per analisi $1$, il tuo docente dovrà accertarsi scrupolosamente che tu abbia capito i concetti del corso; quindi, devi giustificare (anche con poche ma importanti parole) i tuoi ragionamenti. Durante il tuo corso di analisi hai costruito un bagaglio di teoria riguardo le proprietà di regolarità delle funzioni: mi riferisco ai teoremi riguardo la continuità/derivabilità di somma, prodotto, composizione, rapporto, ecc. di funzioni continue/derivabili. Che dicono questi teoremi? Le loro ipotesi valgono? Se sì, perché valgono e dove valgono? Se no, dove non valgono e quali ipotesi crollano? Dopo questa analisi, avrai luce su dove sicuramente una funzione è continua/derivabile e potrai analizzare i casi rimanenti a mano.
Più che cercare di entrare nella mente di chi ha strutturato l'esercizio (pratica triste perché insulta la tua intelligenza e dà l'impressione che tu stia cercando delle scorciatoie), dovresti iniziare ad avere un modo più organico di studiare. Come ti dissi in un altro post, non stai affermando perché i problemi di continuità sono solamente in un punto: stai studiando (presumibilmente) per analisi $1$, il tuo docente dovrà accertarsi scrupolosamente che tu abbia capito i concetti del corso; quindi, devi giustificare (anche con poche ma importanti parole) i tuoi ragionamenti. Durante il tuo corso di analisi hai costruito un bagaglio di teoria riguardo le proprietà di regolarità delle funzioni: mi riferisco ai teoremi riguardo la continuità/derivabilità di somma, prodotto, composizione, rapporto, ecc. di funzioni continue/derivabili. Che dicono questi teoremi? Le loro ipotesi valgono? Se sì, perché valgono e dove valgono? Se no, dove non valgono e quali ipotesi crollano? Dopo questa analisi, avrai luce su dove sicuramente una funzione è continua/derivabile e potrai analizzare i casi rimanenti a mano.
"Mephlip":
Più che cercare di entrare nella mente di chi ha strutturato l'esercizio (pratica triste perché insulta la tua intelligenza e dà l'impressione che tu stia cercando delle scorciatoie), dovresti iniziare ad avere un modo più organico di studiare. Come ti dissi in un altro post, non stai affermando perché i problemi di continuità sono solamente in un punto: stai studiando (presumibilmente) per analisi $1$, il tuo docente dovrà accertarsi scrupolosamente che tu abbia capito i concetti del corso; quindi, devi giustificare (anche con poche ma importanti parole) i tuoi ragionamenti. Durante il tuo corso di analisi hai costruito un bagaglio di teoria riguardo le proprietà di regolarità delle funzioni: mi riferisco ai teoremi riguardo la continuità/derivabilità di somma, prodotto, composizione, rapporto, ecc. di funzioni continue/derivabili. Che dicono questi teoremi? Le loro ipotesi valgono? Se sì, perché valgono e dove valgono? Se no, dove non valgono e quali ipotesi crollano? Dopo questa analisi, avrai luce su dove sicuramente una funzione è continua/derivabile e potrai analizzare i casi rimanenti a mano.
Non che di intelligenza ce ne sia molta dalla mia parte. Ci sto provando a studiare più organicamente. Saranno due mesi che ci sto provando. Non sto capendo molto a riguardo e non so più come procedere. Il tempo e l'impegno sto provando a mettercelo (alcuni giorni non dormo neanche).
Forse però ho trovato qualcosa di utile: il prolungamento per continuità di una funzione: se una funzione $ f(x) $ non è definita in un punto $ x_0 $, ma esiste finito
\[
\lim_{x \to x_0} f(x) = l
\]
La funzione può essere prolungata per continuità anche in $ x_0 $, ponendo per definizione $ f(x_0) = l $. Però:
Lo studente si convinca del fatto che se invece la funzione $ f $ possiede in $ x_0 $ una discontinuità a salto, un asintoto verticale, o comunque non ammette limite finito, non è possibile renderla continua in $ x_0 $ alterandone la definizione in un punto solo.
- "Analisi matematica 1", Bramanti, Pagani, Salsa
Non posso rendere $ g(x) $ una funzione continua prolungandola in un punto dove il limite stesso non è finito. Non è possibile renderla continua in $ 1 $ alterandone la definizione solo in quel punto.
Ciao ncant,
La funzione proposta ha dominio $D = \RR $ e codominio $C = [0, +\infty) $ e passa per l'origine $O(0,0) $
Si vede subito che si ha:
$\lim_{x \to \pm infty} |x e^{\frac{1}{x-1}}| = +\infty $
Il punto critico interessante però ovviamente è $x = 1 $ ed osserverei che si ha:
$\lim_{x \to 1^-} |x e^{\frac{1}{x-1}}| = \lim_{x \to 1^-} x e^{\frac{1}{x-1}} = 0 = f(1) $
sicché la funzione proposta è continua a sinistra di $x = 1 $ (per la definizione che tu stesso hai riportato), ma non a destra, infatti si ha:
$\lim_{x \to 1^+} |x e^{\frac{1}{x-1}}| = \lim_{x \to 1^+} x e^{\frac{1}{x-1}} = +\infty \ne f(1) = 0$
Visto che l'esponenziale è sempre positivo, in realtà il valore assoluto agisce soltanto sulla $x$ che moltiplica l'esponenziale, quindi dato che si sa già che $f(0) = 0 $, conviene studiare la funzione $x e^{\frac{1}{x-1}} $ per $x > 0 $, la funzione $- x e^{\frac{1}{x-1}} $ per $x < 0 $.
Per $x < 0 $ la derivata prima è sempre negativa, quindi la funzione proposta decresce fino al valore $f(0) = 0 $; per $x > 0 $ la derivata prima è positiva dove è positivo il trinomio $x^2 - 3x + 1 $, cioè per $x < 3/2 - \sqrt5/2 $ (unico valore compreso nell'intervallo $(0, 1)$) e per $x > 3/2 + \sqrt5/2 > 1 $, sicché si ha un punto di massimo per $x_M = 3/2 - \sqrt5/2$ ed un punto di minimo per $x_L = 3/2 + \sqrt5/2 $
La funzione proposta ha dominio $D = \RR $ e codominio $C = [0, +\infty) $ e passa per l'origine $O(0,0) $
Si vede subito che si ha:
$\lim_{x \to \pm infty} |x e^{\frac{1}{x-1}}| = +\infty $
Il punto critico interessante però ovviamente è $x = 1 $ ed osserverei che si ha:
$\lim_{x \to 1^-} |x e^{\frac{1}{x-1}}| = \lim_{x \to 1^-} x e^{\frac{1}{x-1}} = 0 = f(1) $
sicché la funzione proposta è continua a sinistra di $x = 1 $ (per la definizione che tu stesso hai riportato), ma non a destra, infatti si ha:
$\lim_{x \to 1^+} |x e^{\frac{1}{x-1}}| = \lim_{x \to 1^+} x e^{\frac{1}{x-1}} = +\infty \ne f(1) = 0$
Visto che l'esponenziale è sempre positivo, in realtà il valore assoluto agisce soltanto sulla $x$ che moltiplica l'esponenziale, quindi dato che si sa già che $f(0) = 0 $, conviene studiare la funzione $x e^{\frac{1}{x-1}} $ per $x > 0 $, la funzione $- x e^{\frac{1}{x-1}} $ per $x < 0 $.
Per $x < 0 $ la derivata prima è sempre negativa, quindi la funzione proposta decresce fino al valore $f(0) = 0 $; per $x > 0 $ la derivata prima è positiva dove è positivo il trinomio $x^2 - 3x + 1 $, cioè per $x < 3/2 - \sqrt5/2 $ (unico valore compreso nell'intervallo $(0, 1)$) e per $x > 3/2 + \sqrt5/2 > 1 $, sicché si ha un punto di massimo per $x_M = 3/2 - \sqrt5/2$ ed un punto di minimo per $x_L = 3/2 + \sqrt5/2 $
@ncant: Non dormire non ti aiuta (perché poi sei scarsamente produttivo), te lo dico per esperienza personale perché a periodi dormo un giorno sì e uno no. Poi accumuli stanchezza e questo sarà un danno collaterale in quanto danneggerà anche le tue capacità di studio sul medio-lungo periodo: non vale la pena studiare $5$ ore in più se poi perdi $3$ giorni di produttività.
Tornando all'esercizio: quello che volevo comunicare, riguardo la mancanza di organicità, è che ti soffermi (in parte, giustamente) sui punti problematici per la continuità ma non giustifichi perché ti concentri solo su quelli. Un esaminatore potrebbe vederla come una mancanza di conoscenza. Le definizioni che riporti sono corrette, però io ho parlato di teoremi. Quello che volevo dire è che hai un arsenale di teoremi che ti aiutano: somma, differenza, prodotto, rapporto (dove il denominatore è non nullo), composizione di funzioni continue sono continue. Nel tuo corso avrai sicuramente visto che le funzioni elementari sono tutte continue nei loro domini naturali, quindi hai che $x \mapsto x$ è continua in $\mathbb{R}$, hai che $x \mapsto e^x$ è continua in $\mathbb{R}$ e hai che $x \mapsto 1$ è continua in $\mathbb{R}$. Dunque, $x \mapsto x-1$ è continua in $\mathbb{R}$ in quanto differenza di funzioni continue in $\mathbb{R}$. Perciò, la funzione $x \mapsto \frac{1}{x-1}$ è continua per ogni $x \ne 1$ perché rapporto di funzioni continue in $\mathbb{R}$ e il denominatore si annulla esclusivamente in $x=1$. Dunque, la composizione tra $e^x$ e $\frac{1}{x-1}$ della forma $e^{\frac{1}{x-1}}$ è continua per ogni $x \ne 1$ in quanto composizione tra funzioni continue. Perciò, $x e^{\frac{1}{x-1}}$ è continua per ogni $x \ne 1$ in quanto prodotto tra funzioni continue. Infine, essendo $x \mapsto |x|$ continua su $\mathbb{R}$, la funzione $g(x)=|xe^{\frac{1}{x-1}}|$ è continua per ogni $x \ne 1$ in quanto composizione tra $|x|$ e $xe^{\frac{1}{x-1}}|$. Questo intendo: non usando questi teoremi, io ti potrei dire: "Ok, ma che ne sai che $f$ è continua in $x=327+e^{1/2}+\pi/2-\log(11000)$?" e tu dovresti fare ogni volta i conti con i limiti. Pertanto, dato che i teoremi sopraccitati ti danno una condizione sufficiente per la continuità, rimane da studiare solamente cosa succede in $x=1$. Avendo correttamente dedotto che $f$ non è continua in $x=1$, questo esaurisce completamente lo studio della continuità.
Prova ora a fare lo stesso con la derivabilità: prendi il libro/gli appunti, vai sul capitolo del calcolo differenziale. Rivedi dove le funzioni elementari sono derivabili e dove non lo sono. Vedi quali teoremi assicurano le relazioni tra derivabilità delle singole funzioni e delle loro operazioni funzionali (somma, prodotto, rapporto, composizione) e studia la derivabilità di $f$. Se hai dei dubbi o semplicemente vuoi una conferma sul tuo operato, ovviamente siamo sempre qui per aiutarti volentieri visto che mostri i tuoi sforzi.
Tornando all'esercizio: quello che volevo comunicare, riguardo la mancanza di organicità, è che ti soffermi (in parte, giustamente) sui punti problematici per la continuità ma non giustifichi perché ti concentri solo su quelli. Un esaminatore potrebbe vederla come una mancanza di conoscenza. Le definizioni che riporti sono corrette, però io ho parlato di teoremi. Quello che volevo dire è che hai un arsenale di teoremi che ti aiutano: somma, differenza, prodotto, rapporto (dove il denominatore è non nullo), composizione di funzioni continue sono continue. Nel tuo corso avrai sicuramente visto che le funzioni elementari sono tutte continue nei loro domini naturali, quindi hai che $x \mapsto x$ è continua in $\mathbb{R}$, hai che $x \mapsto e^x$ è continua in $\mathbb{R}$ e hai che $x \mapsto 1$ è continua in $\mathbb{R}$. Dunque, $x \mapsto x-1$ è continua in $\mathbb{R}$ in quanto differenza di funzioni continue in $\mathbb{R}$. Perciò, la funzione $x \mapsto \frac{1}{x-1}$ è continua per ogni $x \ne 1$ perché rapporto di funzioni continue in $\mathbb{R}$ e il denominatore si annulla esclusivamente in $x=1$. Dunque, la composizione tra $e^x$ e $\frac{1}{x-1}$ della forma $e^{\frac{1}{x-1}}$ è continua per ogni $x \ne 1$ in quanto composizione tra funzioni continue. Perciò, $x e^{\frac{1}{x-1}}$ è continua per ogni $x \ne 1$ in quanto prodotto tra funzioni continue. Infine, essendo $x \mapsto |x|$ continua su $\mathbb{R}$, la funzione $g(x)=|xe^{\frac{1}{x-1}}|$ è continua per ogni $x \ne 1$ in quanto composizione tra $|x|$ e $xe^{\frac{1}{x-1}}|$. Questo intendo: non usando questi teoremi, io ti potrei dire: "Ok, ma che ne sai che $f$ è continua in $x=327+e^{1/2}+\pi/2-\log(11000)$?" e tu dovresti fare ogni volta i conti con i limiti. Pertanto, dato che i teoremi sopraccitati ti danno una condizione sufficiente per la continuità, rimane da studiare solamente cosa succede in $x=1$. Avendo correttamente dedotto che $f$ non è continua in $x=1$, questo esaurisce completamente lo studio della continuità.
Prova ora a fare lo stesso con la derivabilità: prendi il libro/gli appunti, vai sul capitolo del calcolo differenziale. Rivedi dove le funzioni elementari sono derivabili e dove non lo sono. Vedi quali teoremi assicurano le relazioni tra derivabilità delle singole funzioni e delle loro operazioni funzionali (somma, prodotto, rapporto, composizione) e studia la derivabilità di $f$. Se hai dei dubbi o semplicemente vuoi una conferma sul tuo operato, ovviamente siamo sempre qui per aiutarti volentieri visto che mostri i tuoi sforzi.
Dunque... Riscrivo la funzione
\[ f(x) = \begin{cases} \left| xe^{\frac{1}{x-1}} \right| & \text{se } x \neq 1 \\ 0 & \text{se } x = 1 \end{cases} = \begin{cases} g(x) & \text{se } x \neq 1 \\ 0 & \text{se } x = 1 \end{cases} \]
Per definizione, una funzione $ f : (a, b) \to \mathbb{R} $ si dice derivabile in $ x_0 $ se esiste finito $ \lim_{h \to 0} \frac{f \left( x_0 + h\right) - f \left( x_0\right)}{h} $. Se $ f $ è derivabile in ogni punto di $ (a, b) $ è definita la funzione $ f^\prime : (a, b) \to \mathbb{R} $, derivata di $ f $, data da $ x \mapsto f^\prime (x) $.
$ f(x) $ è derivabile in ogni punto del suo stesso dominio, in quanto composizione di funzioni che sono derivabili in ogni punto del dominio.
Ho però a che fare con $ g(x) = | xe^{\frac{1}{x-1}} | $, che sarà $ g(x) = xe^{\frac{1}{x-1}} $ per $ x > 0 $ e $ g(x) = -xe^{\frac{1}{x-1}} $ per $ x < 0 $.
Pertanto, $ f(x) $ non è continua in 1, e non è derivabile in 0!
Fino a qui ok?
\[ f(x) = \begin{cases} \left| xe^{\frac{1}{x-1}} \right| & \text{se } x \neq 1 \\ 0 & \text{se } x = 1 \end{cases} = \begin{cases} g(x) & \text{se } x \neq 1 \\ 0 & \text{se } x = 1 \end{cases} \]
Per definizione, una funzione $ f : (a, b) \to \mathbb{R} $ si dice derivabile in $ x_0 $ se esiste finito $ \lim_{h \to 0} \frac{f \left( x_0 + h\right) - f \left( x_0\right)}{h} $. Se $ f $ è derivabile in ogni punto di $ (a, b) $ è definita la funzione $ f^\prime : (a, b) \to \mathbb{R} $, derivata di $ f $, data da $ x \mapsto f^\prime (x) $.
$ f(x) $ è derivabile in ogni punto del suo stesso dominio, in quanto composizione di funzioni che sono derivabili in ogni punto del dominio.
Ho però a che fare con $ g(x) = | xe^{\frac{1}{x-1}} | $, che sarà $ g(x) = xe^{\frac{1}{x-1}} $ per $ x > 0 $ e $ g(x) = -xe^{\frac{1}{x-1}} $ per $ x < 0 $.
Pertanto, $ f(x) $ non è continua in 1, e non è derivabile in 0!
Fino a qui ok?
Beh, ma neanche ti serve molto: sai già che il punto $O(0, 0) $ è di minimo assoluto per la funzione proposta... 
@pilloeffe se intendi lo studio complessivo della funzione, non c'è alcun massimo assoluto, ma c'è un massimo locale in $ x \in [0, 1] $. I minimi assoluti sono 0 e 1. Non so se è necessario studiare la derivata...
"ncant":
non c'è alcun massimo assoluto
Attenzione che non ho scritto massimo assoluto, ma minimo assoluto. La funzione non è derivabile in $x_0 = 0 $, ma è ivi continua. Ricordati che derivabilità $\implies $ continuità, mentre non è vera l'implicazione opposta (l'esempio classico è proprio $y = |x| $, che è continua in $x_0 = 0 $ come la funzione proposta, ma non è ivi derivabile).
"ncant":
Non so se è necessario studiare la derivata...
Eh beh, se vuoi mai trovare il punto di massimo relativo per $x \in (0, 1) $ ed il punto di minimo relativo per $x > 1 $ mi sa che ti tocca...
(ma ti ho già aiutato un po' nel mio penultimo post, basta studiare la derivata di $x e^{1/(x - 1)} $, non è difficile)
"pilloeffe":
(ma ti ho già aiutato un po' nel mio penultimo post, basta studiare la derivata di $x e^{1/(x - 1)} $, non è difficile)
Derivando si ottiene
\[ e^{\frac{1}{x-1}} - \frac{xe^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2} \]
Lo pongo a 0 e scelgo la soluzione che mi interessa (caso $ x > 1 $ )
\[ x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}\]
...c'è un candidato di massimo/minimo di $ f $.
Vediamo cosa succede allora:
\[
e^{\frac{1}{x-1}} - \frac{xe^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2} \geq 0 \leadsto x \in \left(-\infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) \cup \left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, +\infty\right)
\]
Massimo relativo trovato! Però è strano che non è tra le soluzioni... Vengono menzionati solo i minimi assoluti, il massimo locale tra 0 e 1 e il fatto che non ci sono massimi assoluti.
Come ho scritto in un mio post precedente, c'è anche un minimo relativo in $x_L = 3/2 + \sqrt5/2 > 1 $ per forza, perché si ha $\lim_{x \to 1^+} f(x) = + \infty $ e $\lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty $ e per $x > 1 $ la funzione proposta è continua e positiva, quindi necessariamente deve esserci un minimo relativo.
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