Carattere serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ e $sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} = \]Nel caso di $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$, posso prima riscriverla come
\[
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}
\]
Si tratta di una serie a termini di segno alternato, per cui verifico se il criterio di Leibniz sia applicabile:
\[
\frac{1}{\sqrt{n}} \geq 0 \qquad \forall n \geq 1 \qquad \text{OK}
\]
\[
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}
\]
Si tratta di una serie a termini di segno alternato, per cui verifico se il criterio di Leibniz sia applicabile:
\[
\frac{1}{\sqrt{n}} \geq 0 \qquad \forall n \geq 1 \qquad \text{OK}
\]
la successione $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ è decrescente;
$ \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0 $ per $ n \to +\infty $.
[/list:u:a99zbj6q]
Il criterio di Liebniz è applicabile. La serie converge.
Nel caso invece di $sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$, una volta riscritta come $ sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} $, questa diverge perché
$ \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} \to 1 $ per $ n \to +\infty $.
Va bene?
Risposte
.
Ciao ncant,
Se con la parola "diverge" intendi che "non converge", ma possa essere anche oscillante, allora va bene...
La prima serie proposta $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ non solo converge come hai giustamente scritto, ma si può anche dimostrare che converge ad un numero negativo, infatti si ha:
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 2 \sum_{n \text{ pari}}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 2 \sum_{k = 1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2k}} = \sqrt2 \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} \implies $
$\implies \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} = (\sqrt2 - 1) \zeta(1/2) ~~ - 0,605$
"ncant":
questa diverge [...]
Se con la parola "diverge" intendi che "non converge", ma possa essere anche oscillante, allora va bene...
La prima serie proposta $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ non solo converge come hai giustamente scritto, ma si può anche dimostrare che converge ad un numero negativo, infatti si ha:
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 2 \sum_{n \text{ pari}}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 2 \sum_{k = 1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2k}} = \sqrt2 \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} \implies $
$\implies \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} = (\sqrt2 - 1) \zeta(1/2) ~~ - 0,605$
"pilloeffe":
Se con la parola "diverge" intendi che "non converge", ma possa essere anche oscillante, allora va bene...
Il nostro prof (dato che ogni prof ha comunque qualche caratteristica che li contraddistingue) definisce una serie divergente come caso opposto alla convergenza. Dunque sì, tecnicamente (e nelle risposte che lui stesso ci dà)...
Adesso ho capito che una delle cose più importanti della matematica in genere è la comprensione, ma onestamente penso che questa dovrebbe essere una delle definizioni univoche...
Sì beh, meglio così, ma dovevo chiedertelo, perché alcuni fanno così, mentre altri se la serie non converge distinguono il caso della serie oscillante, per cui nel tuo caso ad esempio grossolanamente possiamo scrivere
$- 1 < \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} < 1/2 $
$- 1 < \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} < 1/2 $
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