Discutere la convergenza dell'integrale $ \int_{2}^{+\infty} \frac{e^{3x}}{e^{6x}-1}\dx$
Ciao e buon anno a tutti. Come da titolo, mi sono imbattuto in questo quesito, che costituisce la seconda parte di un esercizio.
La prima parte consisteva nel calcolo di
\[ \int_{1}^{2} \frac{e^{3x}}{e^{6x}-1}\,dx\]
che è uguale a
\[ - \frac{1}{6} \log \left( e^6 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^3 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^6 - 1\right) - \frac{1}{6} \log \left( e^3 - 1\right) \].
Ora, per la risoluzione di integrali impropri di quel tipo, teoricamente è necessario effettuare
\[
\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{\varepsilon \to +\infty} \int_{a}^{\varepsilon} f(x) \,dx
\]
dunque ho provato a risolvere l'integrale, ma stavolta con i nuovi estremi e mi esce
\[
- \frac{1}{6} \log \left( e^{3\varepsilon} + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^6 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^{3\varepsilon} - 1\right) - \frac{1}{6} \log \left( e^6 - 1\right)
\]
Ma non torna il limite per $ x \to +\infty $, che dovrebbe tornare $ 0 $ come soluzione!
Chiedo se potete darmi una mano. E vi ringrazio in anticipo in caso affermativo.
La prima parte consisteva nel calcolo di
\[ \int_{1}^{2} \frac{e^{3x}}{e^{6x}-1}\,dx\]
che è uguale a
\[ - \frac{1}{6} \log \left( e^6 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^3 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^6 - 1\right) - \frac{1}{6} \log \left( e^3 - 1\right) \].
Ora, per la risoluzione di integrali impropri di quel tipo, teoricamente è necessario effettuare
\[
\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{\varepsilon \to +\infty} \int_{a}^{\varepsilon} f(x) \,dx
\]
dunque ho provato a risolvere l'integrale, ma stavolta con i nuovi estremi e mi esce
\[
- \frac{1}{6} \log \left( e^{3\varepsilon} + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^6 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^{3\varepsilon} - 1\right) - \frac{1}{6} \log \left( e^6 - 1\right)
\]
Ma non torna il limite per $ x \to +\infty $, che dovrebbe tornare $ 0 $ come soluzione!
Chiedo se potete darmi una mano. E vi ringrazio in anticipo in caso affermativo.
Risposte
vabbè ma se sostituisci $u=e^{3x}$ non è precisamente la stessa cosa discutere dell'integrabilità di \(\frac u{u^2-1}\) a \(+\infty\)?
"ncant":
Ciao e buon anno a tutti.
Buon anno anche a te.
\[
- \frac{1}{6} \log \left( e^{3\varepsilon} + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^6 + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^{3\varepsilon} - 1\right) - \frac{1}{6} \log \left( e^6 - 1\right)
\]
Ma non torna il limite per $ x \to +\infty $, che dovrebbe tornare $ 0 $ come soluzione!
Volevi dire il limite per $\varepsilon \to +\infty $ ?
Onestamente non ho capito bene cosa vorresti fare, ma comunque devi raggruppare i termini con $\varepsilon $
\[
- \frac{1}{6} \log \left( e^{3\varepsilon} + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^{3\varepsilon} - 1\right) = \\
+ \frac{1}{6} \log \left( \frac{e^{3\varepsilon} - 1}{e^{3\varepsilon} + 1} \right)
\]
e a questo punto il limite fa zero.
Non so se era questo il tuo dubbio.
"Quinzio":
Volevi dire il limite per $\varepsilon \to +\infty $ ?
Sì... ho scritto male
"Quinzio":
\[
- \frac{1}{6} \log \left( e^{3\varepsilon} + 1\right) + \frac{1}{6} \log \left( e^{3\varepsilon} - 1\right) = \\
+ \frac{1}{6} \log \left( \frac{e^{3\varepsilon} - 1}{e^{3\varepsilon} + 1} \right)
\]
Ahhhh... Ok. Grazie mille
Ciao ncant,
In effetti ponendo $u := e^{3x} \implies \text{d}u = 3 e^{3x} \text{d}x \implies 1/3 \text{d}u = e^{3x} \text{d}x $ puoi tranquillamente risolverti prima l'integrale indefinito, poi l'integrale definito fra $2$ e $M$ e poi far tendere $M$ all'infinito per vedere se converge:
$\int \frac{e^{3x}}{e^{6x}-1} \text{d}x = 1/3 \int \frac{\text{d}u}{u^2-1} = - 1/6 ln|(1 + u)/(1 - u)| + c = - 1/6 ln|(1 + e^{3x})/(1 - e^{3x})| + c $
Sicché si ha:
$\int_2^M \frac{e^{3x}}{e^{6x}-1} \text{d}x = [- 1/6 ln|(1 + e^{3x})/(1 - e^{3x})|]_2^M = - 1/6 ln|(1 + e^{3M})/(1 - e^{3M})| + 1/6 ln|(1 + e^6)/(1 - e^6)| $
Quindi per $M \to +\infty $ l'integrale proposto converge a $1/6 ln\frac{e^6 + 1}{e^6 - 1} $
In effetti ponendo $u := e^{3x} \implies \text{d}u = 3 e^{3x} \text{d}x \implies 1/3 \text{d}u = e^{3x} \text{d}x $ puoi tranquillamente risolverti prima l'integrale indefinito, poi l'integrale definito fra $2$ e $M$ e poi far tendere $M$ all'infinito per vedere se converge:
$\int \frac{e^{3x}}{e^{6x}-1} \text{d}x = 1/3 \int \frac{\text{d}u}{u^2-1} = - 1/6 ln|(1 + u)/(1 - u)| + c = - 1/6 ln|(1 + e^{3x})/(1 - e^{3x})| + c $
Sicché si ha:
$\int_2^M \frac{e^{3x}}{e^{6x}-1} \text{d}x = [- 1/6 ln|(1 + e^{3x})/(1 - e^{3x})|]_2^M = - 1/6 ln|(1 + e^{3M})/(1 - e^{3M})| + 1/6 ln|(1 + e^6)/(1 - e^6)| $
Quindi per $M \to +\infty $ l'integrale proposto converge a $1/6 ln\frac{e^6 + 1}{e^6 - 1} $
C'è poco da discutere: l'integrando è continuo ed infinitesimo all'infinito di ordine infinitamente elevato, perciò l'integrale converge.
Oppure anche così:
$ \int_{2}^{+\infty} \frac{e^{3x}}{e^{6x}-1}\text{d}x = \int_{2}^{+\infty} \frac{e^{-3x}}{1 - e^{- 6x}}\text{d}x = \int_{2}^{+\infty} e^{-3x} \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{- 6nx} \text{d}x = \int_{2}^{+\infty} \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{- 6nx - 3x} \text{d}x = $
$ = \int_{2}^{+\infty} \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{- 3(2n + 1)x} \text{d}x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \int_{2}^{+\infty} e^{- 3(2n + 1)x} \text{d}x = \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-6(2n + 1)}/(3(2n + 1)) = 1/3 \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-6(2n + 1)}/(2n + 1) = $
$ = 1/3 tanh^{- 1}(e^{- 6}) = 1/3 coth^{- 1}(e^6) = 1/6 ln(1 + e^-6) - 1/6 ln(1 - e^-6) = 1/6 ln(\frac{1 + e^-6}{1 - e^-6}) = $
$ = 1/6 ln(\frac{e^6 + 1}{e^6 - 1}) $
$ \int_{2}^{+\infty} \frac{e^{3x}}{e^{6x}-1}\text{d}x = \int_{2}^{+\infty} \frac{e^{-3x}}{1 - e^{- 6x}}\text{d}x = \int_{2}^{+\infty} e^{-3x} \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{- 6nx} \text{d}x = \int_{2}^{+\infty} \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{- 6nx - 3x} \text{d}x = $
$ = \int_{2}^{+\infty} \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{- 3(2n + 1)x} \text{d}x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \int_{2}^{+\infty} e^{- 3(2n + 1)x} \text{d}x = \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-6(2n + 1)}/(3(2n + 1)) = 1/3 \sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-6(2n + 1)}/(2n + 1) = $
$ = 1/3 tanh^{- 1}(e^{- 6}) = 1/3 coth^{- 1}(e^6) = 1/6 ln(1 + e^-6) - 1/6 ln(1 - e^-6) = 1/6 ln(\frac{1 + e^-6}{1 - e^-6}) = $
$ = 1/6 ln(\frac{e^6 + 1}{e^6 - 1}) $
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