Analisi matematica di base

Ciao a tutti. Sto cercando di risolvere il seguente problema di Cauchy: \begin{cases} y^\prime = 3y - 1 \\ y(0) = 0 \end{cases}. Risolvendo l'equazione differenziale, ottengo $ y(t) = \frac{e^{3t+c} + 1}{3} $. Provando ad imporre la condizione iniziale $ y(0) = 0 $, ottengo però $ y(0) = \frac{e^c+1}{3} $ e da qui non so come trovare la $ c $ per la soluzione esatta. Ho chiesto ad un mio compagno e mi ha detto di procedere in questo modo: $ e ^ {3t + c} $ diventa $ c \cdot e^{3t} $, pertanto: ...

Verifico la condizione necessaria per la convergenza $\lim_{n->\infty}(\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n) = 0^\infty = 0$ Dunque provo ad applicare il criterio del confronto asintotico (essendo la serie a termini positivi) scegliendo $a_n = (\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n)$, $b_n = \frac{1}{n^2}$ e dunque $\lim_{n->\infty}n^2(\frac{1}{\sqrt{n}})^\log(n) = \lim_{n->\infty}n^2\cdot n^{-1/2\log(n)} = \lim_{n->\infty} n^{2-1/2\log(n)} = +\infty^{-\infty} = 0$ Essendo la serie associata alla successione $b_n$ convergente, allora anche quella iniziale lo è. E' corretto?

Ciao, cerco un aiuto su un esercizio, o meglio solo un passaggio per cui il Prof fa una approssimazione che non capisco benissimo.... SI ha $B=x^2-y^2$ e l ipoesi che $x \approx y$ Quindi: $(x+y)(x-y)\approx2x(x-y)$ Il mio dubbio sorge qui: perché x+y posso apporssimarlo come x+x=2x mentre x-y non posso scrivere x-x=0? Mi sembra che usi un diverso trattamento nei due casi. Anche numericamente in modo stupido direi sia $ x=1.000001$ e $y=1$, sotto questa ipotesi ...

Come da titolo. La serie è a termini positivi. Non posso sfruttare il limite notevole $ \sin \varepsilon (x) ~ \varepsilon (x) $ in quanto nel nostro caso $ n $ non tende a 0 e nemmeno $ \left( 1 + \varepsilon (x) \right) ^ \alpha - 1 ~ \alpha \varepsilon (x) $ per lo stesso motivo. Ho provato con il criterio della radice, ma invano. Potete darmi una mano?

Mi chiedevo se fosse possibile risolverlo con la serie di Taylor. Ponendo $n = m + 1$ e facendo riferimento allo sviluppo di $log(x + 1)$, ottengo $\lim_{m->\infty} \frac{log(m+1)}{(m+1)^2} = \lim_{m->\infty} \frac{log(m+1)}{(m+1)^2}$ $ = \lim_{m->\infty} \frac{m - \frac{m^2}{2} + \frac{m^3}{3} + o(m^3)}{m^2 + 2m + 1}$ Il procedimento sembra non funzionare, perché se spezzo la frazione ottengo il primo termine che si annulla, il secondo che tende a $-1/2$ e il terzo che è divergente, dunque dovrei concludere che tutto il limite è infinito quando sappiamo che è zero. Cosa non quadra?

Ancor prima di postare ogni tentativo di applicazione dei vari criteri di convergenza per le serie, vorrei capire come verificare la condizione di convergenza, vale a dire $\lim_{n->\infty} \sqrt{n}[n\sin(\frac{1}{n}) - \cos^2(\frac{1}{n})]$ Ho tentato di mettere in evidenza $n$ ma rimango fermo alla forma $\infty \cdot 0$. Un suggerimento per iniziare?

Una forma indeterminata è così chiamata perché non è noto a priori il risultato vero e proprio del limite che stiamo calcolando. L'indeterminatezza di una forma si può dimostrare semplicemente trovando due limiti che risultino nella stessa forma ma che abbiano valori differenti. Un esempio con il caso 0/0 è il seguente: $\lim_{x->0} \frac{\sin(x)}{x} = [\frac{0}{0}] = 1$ $\lim_{x->49} \frac{x - 49}{\sqrt{x} - 7} = [\frac{0}{0}] = 14$ Quello che mi riguarda è la dimostrazione della "determinatezza" di una forma: ad esempio, \(\displaystyle (+\infty) \cdot (+\infty) \) ...

Buongiorno a tutti. Vorrei chiedere delle indicazioni riguardo questo esercizio che ho trovato sul testo di un esonero di Analisi 1 (con $INT(A)$ indicherò l'insieme dei punti interni di $A$, mentre $\bar{A}$ è la chiusura di $A$): "Esiste un sottoinsieme $A$ di $RR$ tale che $ INT(\bar{A}) != INT(\bar{INT(\bar {A})}) $?" Perdonate la notazione non proprio snella, ho provato a scriverlo nel modo migliore che ho potuto. Più che la risposta ...

Ciao a tutti vi vorrei chiedere come svolgere il seguente limite $lim_(x->0)(cos(sinh(x))-cosh(sin(x)))/(e^sqrt(x)-5^sqrt(x))^4$ Ho provato a sviluppare con taylor il numeratore e mi viene $-x^2+o(x2)$ ma non sono sicuro di aver fatto bene. Il denominatore ho provato a farlo ricavandomi un limite notevole ma alla fine anche se mi viene un valore è diverso dal risultato, che dev’essere 0.

Ciao ho una funzione che non mi riesce sviluppare in $x_o=0$ per la risoluzione di un limite, ho notato che usando il limite notevole viene facilmente. Ma ho provato fermandomi al primo ordine (che in teoria dovrebbe essere la stessa cosa giusto?) e non mi torna. La funzione è $sqrt((1+x^2)^2-1)$. Ho notato che la funzione non è neanche derivabile in zero quindi come posso fare? Grazie

Ciao, ho un esercizio che mi chiede di dimostrare che la funzione è crescente su R. Sotto trovate quello che ha scritto il prof, ma non ho capito molto, qualcuno può aiutarmi? $f(x)=$$\{(4x^2),(6x-4):}$ $4x^2$ se x>=0 $6x-4$ se x

Come da titolo. Per la prima potrei sfruttare il limite notevole $ \sin \varepsilon (x) ~ \varepsilon (x) $ e ottengo: \[ \sin \left( \frac{n+2}{n^3+4}\right) \sim \frac{n+2}{n^3+4} = \frac{n}{n^3+4} + \frac{2}{n^3+4} \] Dato che $ \frac{n}{n^3+4} < \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2} $ e che $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $ converge, e dato che $ \frac{2}{n^3+4} < \frac{2}{n^3} = 2 \frac{1}{n^3} $ e che $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} $ converge, per confronto con la serie armonica generalizzata $ \frac{1}{n^\alpha} $ quando $ \alpha > 1 $, la serie converge (in quanto somma di due serie convergenti. Spero di non ...

Ciao ragazzi, so che plano su un thread vecchissimo, ma la risposta nonostante aver letto quei documenti non mi è chiara. Io ad esempio ho un arco di circonferenza descritto da un angolo $\alpha$ che da disegno è compreso tra $0$ e $pi/2$ tale arco ha densità omogenea, mi viene chiesto di trovare il momento d'inerzia rispetto ad ogni asse ($x$ è il perpendicolare al piano di giacitura del'arco) Riuscite ad aiutarmi?

Ciao a tutti. Sto cercando di studiare il carattere della serie \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + \tan ^2 \left( \frac{1}{n} \right)} - 1 \] Potrebbe essere convergente, dato che \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1+\tan ^ 2 \left( \frac{1}{n}\right)} - 1 = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1+\tan ^ 2 (0)} - 1 = 0 \] Da qui in poi però non so come procedere. Essendo la serie a termini positivi, ho provato con il criterio del confronto e del confronto asintotico. Ho anche provato con lo sviluppo ...

Ciao ragazzi , stavo svolgendo un'esercizio di analisi 2, il testo recita: Calcolare in almeno due modi il flusso del vettore $ F=(x,y,z^2) $ uscente da $ Fr(D) $ quando $ D={(x,y,z):-1<=z<=-(x^2+y^2)} $. Volevo provare ad usare Stokes , ma calcolando il rotore , mi verrebbe il vettore nullo , il che annullerebbe tutto l'integrale. La soluzione però ,usa il teorema della divergenza , spezzando la frontiera in 2 parti e appunto applicando questo teorema . In alcuni esercizi , mi viene specificato ...

Non so se sia una dimostrazione rigorosa: sia 0

Buongiorno, potreste darmi un esempio di biiezione tra l'intervallo aperto (0,1) e l'intervallo chiuso [0,1]?

Buongiorno, qualcuno riuscirebbe a darmi una mano con questo esercizio: Sia $\alpha$ $in$ $(0,1]$ e definiamo la funzione $d :$ $RR^{n} × RR^{n} \to [0,\infty)$ $d(x,y)=|x-y|^{\alpha}$ con $x,y in RR^{n}$ dove $|-|$ indica la norma euclidea di $RR^{n}$. Provare che $(RR^{n},d)$ è uno spazio metrico Non riesco a dimostrare la disuguaglianza triangolare, l'unica idea è procedere così: $d(x,z)=|x-z|^{\alpha}<=(|x-y|+|y-z|)^{\alpha}$ Vorrei arrivare ...

Ciao a tutti, sono nuovo e come da mio username vorrei rendere più formale un limite che non sono convinto di come sia risolto in un corso di chimica (quindi contesto più fisico che analitico). Io mi trovo con la seguente condizione: $1/r$>>$omega/c$ (*) e ho la formula $P=k (i omega p_0)/c^2 (1/r-(i omega)/c)e^(-iomega(t-r/c))/r$ (per la verità più complessa ma ho tolto parti costanti poco utili) Il professore svolge un ragionamento del genere: (primo passaggio) $P≈k (i omega p_0)/c^2 e^(-(i (omegat))*e^(i(romega)/c))*1/r^2$ E mi sembra abbia sfruttato la ...

Ho cercato su Wolfram Alpha l'integrale di $\frac{xe^{-x}}{1+e^{-x}}$ e mi esce $Li_2 (-e^{-x})-xlog (e^{-x}+1) +C.$ $Li$ sarebbe il logaritmo integrale $Li(x)$ = \( \int_{2}^{x} \frac{1}{log (y)}\, dy \) Ma che vuol dire quel $2$ in basso come pedice vicino a $Li$ nella soluzione di Wolfram Alpha? Può darsi che indichi semplicemente il primo estremo di integrazione nel logaritmo integrale?