$ lim_{n \to +\infty} $ di una successione per ricorrenza

[ncant04]

Si propone il seguente lemma:

"Chiamiamo $ a_n \in \mathbb{R} $ la quantità di denaro presente al mese $ n $ sul conto corrente del signor $ X $. Si determini $ lim_{n \to +\infty} a_n $ sapendo che ogni mese il signor $ X $ deposita sul suo conto 2000 ma successivamente perde $ \frac{1}{10} $ del totale depositato a causa di investimenti miracolosi in Bitcoin che trova consigliati sui social networks."

Le possibili risposte sono:

0
Il limite non esiste
18000
Nessuna di queste
[/list:u:mozv0yn1]

[size=150]Quello che ho fatto[/size]
Una volta letta la consegna, mi è venuta in mente la seguente successione definita per ricorrenza:

\[
a_{n + 1} = \frac{9}{10} a_n + 2000
\]

Ho poi provato a svilupparne alcuni termini, partendo ad esempio da $ a_0 = 0 $:

\[
a_1 = 2000, \ a_2 = 1800 + 2000 = 3800, \ a_3 = 3420 + 2000 = 5420, \ a_4 = 4878 + 2000 = 6878, \ ...
\]

Mi vengono alcune idee: $ a_n $ crescente e $ a_n \to + \infty $



$ a_n \geq a_0 \forall n \in \mathbb{N} $
$ a_{n + 1} \geq a_n \forall n \in \mathbb{N} $
$ a_n \to l \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty \} $
l = $ +\infty $
[/list:u:mozv0yn1]

Supponiamo per assurdo che $ l \in \mathbb{R} $. Allora posso passare al limite a destra e a sinistra della ricorrenza

\[ l = \frac{9}{10} l + 2000 \leadsto \frac{1}{10} l = 2000 \leadsto l = 20000 \]

...Qualcosa non torna

Mi potete dare una mano?

[axpgn]

A me sembra che sia $a_(n1)=9/10(a_n+2000)$ ... non che cambi molto ...

[axpgn]

Comunque affinché sia crescente deve essere $a_(n+1)-a_n>0$ e quindi $9/10a_n+1800-a_n>0$

[Mephlip]

"axpgn":non che cambi molto ...

In realtà, come lo imposti tu è coerente con una delle possibili risposte.

[axpgn]

Quindi mi verrebbe da dire che il limite è $18000$

[sellacollesella]

.

[ncant04]

Grazie a tutti (specialmente @Mephilip e @sellacollesella che ormai li sto tormentando troppo su questo forum )

[otta96]

Che schifo di conto, non ci sono nemmeno gli interessi

[gabriella127]

E chi te li dà più gli interessi su un conto corrente, ormai!