Equazioni differenziali a variabili separate
Ho svolto questa equazione: y’=x+xy^2 e mi è uscita corretta [ tan(x^2/2 +c) ]; il problema è che ho anche messo come soluzione, la sua soluzione stazionaria, ovvero zero, se non sbaglio, ma tra le soluzioni non risulta. È la seconda volta che mi capita (l’altra funzione era: y’=yx^2) e vorrei capire il perché. Come so che devo scartare la soluzione stazionaria?
Grazie in anticipo!
Grazie in anticipo!
Risposte
Perché dici che lo zero è una soluzione? Immagino $y$ sia $y(x)$, e quindi se 0 fosse una soluzione della tua equazia, $x=0$.
$y= 0 $ non e' una soluzione.
$y' = 0$ quindi $0 = x$ che e' sbagliato.
La soluzione $y=0$ dovrebbe risultare come caso particolare di una soluzione generica che dipende da un parametro. Ad es. $y = k e^{-x}$ con $k=0$.
In ogni caso bisogna verificare se e' davvero una soluzione.
Per l'altra...
$y' = yx^2$
${y'}/y = x^2$
$ln y = 1/3 x^3 + c$
$y = k e^{x^3/3}$.
Ecco un caso per $k = 0$.
$y' = 0$ quindi $0 = x$ che e' sbagliato.
La soluzione $y=0$ dovrebbe risultare come caso particolare di una soluzione generica che dipende da un parametro. Ad es. $y = k e^{-x}$ con $k=0$.
In ogni caso bisogna verificare se e' davvero una soluzione.
Per l'altra...
$y' = yx^2$
${y'}/y = x^2$
$ln y = 1/3 x^3 + c$
$y = k e^{x^3/3}$.
Ecco un caso per $k = 0$.
"mona312":
Come so che devo scartare la soluzione stazionaria?
Le equazione a variabili separabili sono quelle che possono essere messe nella forma
$$y'(x)=f(x)g(y(x))\qquad (1)$$
con $g$ e $f$ funzioni continue.
Ora, le equazioni a variabili separabili possono avere una o più soluzioni banali, le soluzioni stazionarie, se $c$ è un numero reale tale che $g(c)=0$. In quel caso la soluzione costante $y(x)\equiv c$ è soluzione dell'equazione.
Ossia, soluzioni della $(1)$ sono anche le costanti che annullano la funzione $g$.
Nel tuo caso abbiamo che l'equazione
$$ y(x)’=x+xy^2(x)$$
messa nella forma $(1)$ diventa
$$y'(x)=x(1+y^2(x)).$$
La tua $g(y(x))$ è quindi $1+y^2(x)$ e non abbiamo un valore reale $y=c$ per cui $g(c)=0$.
Per cui non c'è soluzione stazionaria.
Quindi ti devi andare a guardare l'equazione nella forma $(1)$ e la $g(y(x))$e vedere se c'è questo o questi $c$ etc. etc.
Ciao mona312,
Benvenuto/a sul forum!
Questa soluzione è corretta: al massimo se vuoi puoi scriverla nella forma equivalente $y(x) = tan[1/2(x^2 + c)] $
Questa equazione differenziale è diversa dalla precedente e si vede subito che $y(x) = 0 $ è una soluzione (banale): quest'ultima però si può ottenere dalla soluzione generale $y(x) = c e^{x^3/3} $ per $c = 0 $.
Benvenuto/a sul forum!
"mona312":
Ho svolto questa equazione: y’=x+xy^2 e mi è uscita corretta [ tan(x^2/2 +c) ]
Questa soluzione è corretta: al massimo se vuoi puoi scriverla nella forma equivalente $y(x) = tan[1/2(x^2 + c)] $
"mona312":
È la seconda volta che mi capita (l’altra equazione era: y’=yx^2)
Questa equazione differenziale è diversa dalla precedente e si vede subito che $y(x) = 0 $ è una soluzione (banale): quest'ultima però si può ottenere dalla soluzione generale $y(x) = c e^{x^3/3} $ per $c = 0 $.
Grazie per le risposte!
Credo di aver capito: per quanto riguarda la prima, 0 non è soluzione perché la mia g(y) é in realtà 1+y^2 che non si annulla per nessun valore; invece per la seconda, non é necessario specificare lo zero perché la y può annullarsi con c=0.
L’unica cosa che non mi è chiara è perché x=0 è scorretto.
Credo di aver capito: per quanto riguarda la prima, 0 non è soluzione perché la mia g(y) é in realtà 1+y^2 che non si annulla per nessun valore; invece per la seconda, non é necessario specificare lo zero perché la y può annullarsi con c=0.
L’unica cosa che non mi è chiara è perché x=0 è scorretto.
"mona312":
L’unica cosa che non mi è chiara è perché x=0 è scorretto.
Ma le soluzioni sono della forma $y=...$, no? E $y=0$ non è una soluzione.
$x=0$ è scorretto perché $x$ è una variabile, e non può essere sempre zero, la soluzione $y(x)$ deve valere per ogni $x$ nel dominio considerato.
Comunque devi distinguere due concetti:
1) Se vuoi vedere se una certa funzione specifica $y(x)$ è soluzione di una data equazione differenziale, semplicemente fai la verifica sostituendola nella equazione differenziale di partenza (come fai in tutte le equazioni differenziali, ovviamente, non solo in quelle a variabili separabili).
Cioè, devi sapere in partenza qual è la soluzione da verificare.
È quello che ti ha detto Quinzio, dicendo che la soluzione stazionaria $y(x)\equiv 0$, la funzione identicamente nulla, non soddisfa l'equazione $ y’(x) =x+xy^2(x)$, perché se la vai a sostituire ti viene $x=0$, che non va bene.
Invece se sostitusci $y(x)\equiv 0$ nella seconda equazione $y’(x)=y(x)x^2$ la soluzione funziona, l'uguaglianza è verificata.
2) Però non è che tu sai in partenza quali sono (e se ci sono) le soluzioni stazionarie di una equazione differenziale a variabili separabili.
Sì, puoi provare la soluzione identicamente nulla $y(x)\equiv0$, ma ci possono essere soluzioni stazionarie (cioè costanti) $y(x)\equiv c$ per qualunque $c\in \mathbb{R}$.
E allora che fai? Mica puoi verificare a mano a una a una le infinite soluzioni costanti possibili, non ti basta la vita
Quindi, per vedere se ci sono soluzioni stazionarie, usi il metodo che ho scritto sopra, che ti consente di individuare quali sono le soluzioni stazionarie, cioè ho risposto alla tua domanda:
dove non è però corretto dire la soluzione stazionaria, perché non è detto che sia una e non è detto che sia necessariamente $y(x)\equiv 0$.
Comunque devi distinguere due concetti:
1) Se vuoi vedere se una certa funzione specifica $y(x)$ è soluzione di una data equazione differenziale, semplicemente fai la verifica sostituendola nella equazione differenziale di partenza (come fai in tutte le equazioni differenziali, ovviamente, non solo in quelle a variabili separabili).
Cioè, devi sapere in partenza qual è la soluzione da verificare.
È quello che ti ha detto Quinzio, dicendo che la soluzione stazionaria $y(x)\equiv 0$, la funzione identicamente nulla, non soddisfa l'equazione $ y’(x) =x+xy^2(x)$, perché se la vai a sostituire ti viene $x=0$, che non va bene.
Invece se sostitusci $y(x)\equiv 0$ nella seconda equazione $y’(x)=y(x)x^2$ la soluzione funziona, l'uguaglianza è verificata.
2) Però non è che tu sai in partenza quali sono (e se ci sono) le soluzioni stazionarie di una equazione differenziale a variabili separabili.
Sì, puoi provare la soluzione identicamente nulla $y(x)\equiv0$, ma ci possono essere soluzioni stazionarie (cioè costanti) $y(x)\equiv c$ per qualunque $c\in \mathbb{R}$.
E allora che fai? Mica puoi verificare a mano a una a una le infinite soluzioni costanti possibili, non ti basta la vita
Quindi, per vedere se ci sono soluzioni stazionarie, usi il metodo che ho scritto sopra, che ti consente di individuare quali sono le soluzioni stazionarie, cioè ho risposto alla tua domanda:
"mona312":
Come so che devo scartare la soluzione stazionaria?
dove non è però corretto dire la soluzione stazionaria, perché non è detto che sia una e non è detto che sia necessariamente $y(x)\equiv 0$.
Grazie! È molto più chiaro.
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