Analisi matematica di base
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Buonasera,
domani ho il secondo esonero di Analisi 1 e, sono in difficoltà con un argomento.
In pratica questo esercizio mi chiede di calcolare il valore della serie numerica $ \sum_{n = 3}^{\infty} ln(1-1/n^2) $ ma non so assolutamente dove mettere le mani.
So calcolare la convergenza ecc. ma questo tipo di esercizio non ho capito come svolgerlo.
Grazie dell'aiuto
Il parametro $\alpha$ è un numero reale.
Il termine generale è banalmente definitivamente positivo.
Tuttavia, prima di addentrarmi nell'applicazione di qualunque criterio per le serie, ho controllato la condizione necessaria per la convergenza come segue.
Sia $a_n = ((n+1)/n)^(n^\alpha)$, allora si ha che $a_n = exp(n^(\alpha) log(1 + 1/n))$, dunque
$L = \lim_{n} a_n = exp(\lim_{n} n^(\alpha) log(1 + 1/n))$.
Affinché ci sia convergenza deve risultare che $L = 0$, ossia che l'esponenziale vada a zero.
Tuttavia, affinché ciò si verifichi deve ...
Il limite del termine generale $a_n = sqrt(tan(1/n) - 1/n)$ è banalmente $0$.
Ho pensato di agire così: essendo l'argomento della tangente ovviamente sempre minore di $\pi/2$, posso sviluppare in serie la tangente
$tan(1/n) = 1/n + 1/(3n^3) + o(1/n^3)$
ottenendo così
$a_n = sqrt(1/n + 1/(3n^3) + o(1/n^3) - 1/n) = sqrt(1/(3n^3) + o(1/n^3))$.
Da qui i dubbi. Maggioro il termine generale elevando al quadrato, ottenendo
$a_n \leq 1/(3n^3) + o(1/n^3)$
Riferendomi alla presenza dell'o-piccolo, questo passaggio è lecito?
Ammesso che lo sia, dovrei considerare la ...
Il termine generale è banalmente a termini positivi.
Ho pensato di iniziare per maggiorazioni. $\forall n$ naturale si ha che:
$(n^2 log^2(n))/(n^4 + 2n^2 + 1) < (n^2 log^2(n))/(n^4 + 2n^2) = (log^2(n))/(n^2 + 2)$
Ora, poiché $\forall n$ naturale si ha che $\alpha log(n) < n^\alpha, \alpha > 0$, se scelgo $\alpha = 1/4$ posso dire che
$log(n) < 4n^(1/4)$
quindi, elevando ambo i membri (positivi) al quadrato
$log^2(n) < 16n^(1/2)$
posso continuare la maggiorazione così
$(log^2(n))/(n^2 + 2) < (16n^(1/2))/(n^2 + 2)$.
A questo punto confronto il termine $a_n = (16n^(1/2))/(n^2 + 2)$ con il termine ...
Devo dimostrare la costanza del segno della quantità del titolo.
Come detto nel post precedente, posso dire che $cos(1/n) > 1/2 \forall n \geq 1$, quindi scrivo che
$ (1/n){cos(1/n) - (1 - 1/n)^(1/3)} > (1/n){1/2 - (1 - 1/n)^(1/3)}$
ma a questo punto come potrei continuare?
Salve, sto studiando analisi 2, forse si tratta di una domanda banale, ma non riesco a capire cosa rappresentino le forme differenziali. Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
buongiorno,
se la derivata rappresenta il valore del coefficiente angolare della retta tangente, come mai esempio, nel derivare x^2 2x graficamente non è tangente a nulla ?
Credo di avere un dubbio che non mi è chiarissimo come andare a risolverlo. Provo a spiegarlo brevemente.
Il dubbio è sulle trasformazioni di gauge:
sia un campo A tale che $nabla xx A=B$ (in generale $nabla * A!=0$), a questo punto giustamente il testo fa notare che dato un campo $A'=A+nablaf$ è ancora valido che $nabla xx A'=B$. Fin qui ci siamo.
Ora, dice che sostanzialmente ho un grado di libertà e che se scelgo una A' t.c $nabla * A'=0$ (gauge di Coulomb),quindi se scelgo ...
Ciao a tutti. Non riesco a capire come svolgere uno sviluppo di Taylor di questo tipo:
f(x) = ( senx)^2 , n=6 . Ho provato ad usare la regola che applico di solito, ovvero usare la formula della funzione seno : senx = x-(x^3/6)+(x^5/5!)…. Ma non mi risulta. Qualcuno può darmi una mano ? Grazie!
Pongo $a_n = cos(sin(1/n)) - \frac{n}{n+1}$.
Essendo $sin(1/n) ~ 1/n$ per $n -> \infty$, posso dire che $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n ~ \sum_{n = 1}^{\infty} cos(1/n) - \frac{n}{n+1}$ e inoltre
$lim_{n -> \infty} a_n = lim_{n -> \infty} cos(1/n) - \frac{n}{n+1} = 0$.
Scrivendo il coseno come $cos(1/n) = 1 - 1/(2n^2) + o(1/n^2)$ ed applicando il criterio del confronto asintotico con la serie armonica divergente $\sum_{n = 1}^{\infty} 1/n$, scrivo
$lim_{n -> \infty} \frac{cos(1/n) - \frac{n}{n+1}}{1/n} = lim_{n -> \infty} \frac{1 - 1/(2n^2) - \frac{n}{n+1} + o(1/n^2)}{1/n} = lim_{n -> \infty} \frac{2n^2 - n - 1}{2n^2 + 2n} + o(1/n) = 1$
dunque la serie iniziale diverge. E' corretto?
Salve avrei un dubbio sulla domanda di questo esercizio:
Sia f: R^2 -> R, f(x,y)= exp(2x^2-xy+y^2)
La prima domanda chiede di trovare i punti stazionari e dire se max, min o sella. Facendo analisi ho trovato che il punto (0, 0) è un punto di minimo locale.
La seconda domanda dice: Determinare il valore massimo e il valore minimo assunto dalla funzione f nella chiusura Ω del dominio con Ω={(x, y) ∈ R^2: 0 < x < 2 , 0 < y < −x(x − 2)}
Il mio ragionamento sulla seconda domanda è che il dominio ...
L'esponente $\beta$ è un parametro reale.
Avevo pensato di agire come segue: siccome $e^(1/n)$ una successione che assume il suo massimo pari ad $e$ per $n = 1$, mentre $e^(1/(n+1))$ assume il suo minimo pari a $1$ all'infinito, potrei maggiorare la differenza degli esponenziali come segue
$n^\beta(e^(1/n) - e^(1/(n+1))) < n^(\beta)(e - 1)$
Considero allora la serie
$\sum_{n = 1}^{\infty} n^\beta(e - 1) = (e - 1)\sum_{n = 1}^{\infty} n^\beta$
che converge per $\beta < -1$. E' corretto?
Sera a voi.
Volevo chiedere un aiuto su un conto per cui vale per hp che $(ar)/b≪1$
Io ho $(1/r-a/b-(a^2r)/b^2)$ e dovrei arrivare ad avere solo 1/r
Oppure altro conto simile: $(1/r^2-a/(br)-a^2/b^2)=1/r$
Non capisco bene come impostare il ragionamento nei due casi:
mi viene da dire che
- 1/r non ci crea problemi
- considero $a/b$ per hp $(ar)/b≪1 => a/b≪1/r$ quindi sopravvive il primo temrmine della somma e questo è trascurabile
- passo a $(a^2r)/b^2$ lo scrivo come ...
Salve,
mi trovo questa successione,
$2,3,5,23,29,53,59....$
di cui non riesco a trovare il termine successivo...
Buongiorno a tutti, mi sto da poco approcciando al calcolo di integrali doppi ma ho un dubbio nell'affrontare un esercizio apparentemente semplice.
Devo calcolare \( \int_\Omega \frac{y}{1+xy}\ \text{d} x \text{d} y \text{ }\Omega=[0,1]\text{x}[0,1] \)
Il calcolo dell'integrale indefinito in se non mi crea (troppi) problemi ma se applico gli estremi di integrazione non so come fare, perche secondo i miei calcoli ottengo un ln(0)...
Devo applicare il teorema che afferma che se un insieme è ...
Ciao a tutti, sto letteralmente impazzendo con il seguente esercizio: devo trovare il volume dell'intersezione tra il cono ed il cilindro aventi rispettivamente equazione
\(\displaystyle C: z=2-\sqrt{x^2+y^2} \)
\(\displaystyle Cil: (x-1)^2+y^2=1 \)
con \(\displaystyle 0 \leq z \leq 2 \)
Ho provato a ragionare così:
posto \(\displaystyle D:= C \cap Cil \) si ha che
\(\displaystyle Vol_{D} = \int \int \int_{D} 1 \, dx dy dz = \int \int_{Base_{D}} \bigg( 2-\sqrt{x^2+y^2} \bigg) \, dx dy = ...
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} = \]Nel caso di $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$, posso prima riscriverla come
\[
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}
\]
Si tratta di una serie a termini di segno alternato, per cui verifico se il criterio di Leibniz sia applicabile:
\[
\frac{1}{\sqrt{n}} \geq 0 \qquad \forall n \geq 1 \qquad \text{OK}
\]
la successione $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ è decrescente;
$ \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0 $ per $ n \to +\infty $.
[/list:u:a99zbj6q]
Il criterio di Liebniz è ...
Ho svolto questa equazione: y’=x+xy^2 e mi è uscita corretta [ tan(x^2/2 +c) ]; il problema è che ho anche messo come soluzione, la sua soluzione stazionaria, ovvero zero, se non sbaglio, ma tra le soluzioni non risulta. È la seconda volta che mi capita (l’altra funzione era: y’=yx^2) e vorrei capire il perché. Come so che devo scartare la soluzione stazionaria?
Grazie in anticipo!
Si consideri $ t \geq 0 $ e la seguente funzione
\[
f(t) = \int_{0}^{t} \max \left(0, \sin (x) \right)
\]
Mi vengono posti i quesiti seguenti:
- Verificare che la funzione sia effettivamente definita su tutto $ \mathbb{R}^+ $;
- Calcolare i seguenti limiti: $ \lim_{t \to +\infty} f(t) $, $ \lim_{t \to 0} f(t) $.
[/list:u:3bst3z56]
Per il primo quesito, riscrivo $ f(t) $ come
\[
f(t) = \int_{0}^{t} g(x) \,dx
\]
dove $ g(x) = \max \left(0, \sin (x) \right) $, che posso anche scrivere come una funzione definita a ...
Ciao a tutti, avrei un contarello che non mi torna proprio, in particolare il prof dice che il prodotto di due campi (che a breve vi mostrerò) dovrebbe essere nullo. Ma a me non torna.
Dopo vari conti sono arrivato ad avere per la componente x dei campo
$E_(0x)=-iCalpha(mpi)/acos(mpi/ax)sin(npi/by)$ e $B_(0x)=iCepsilon_rmu_rk/c(npi)/bsin(mpi/ax)cos(npi/by)$
Si deve svolgere $vecE*vecB=0$ ma a me non sembra annullarsi quella componente
Non capisco se sbaglio solo il conto ma ho provato un po' di identità trigonometriche
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