Carattere di $ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} \right)^{\frac{1}{n}} $
Come da titolo. Dato che \[ \left( \frac{1}{n} \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{\frac{1}{n}} \]
posso applicare il criterio della radice...
\[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1 \]
... con cui però nulla si può concludere.
Sto sbagliando qualcosa?
posso applicare il criterio della radice...
\[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1 \]
... con cui però nulla si può concludere.
Sto sbagliando qualcosa?
Risposte
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...quello che sto realizzando è ancora peggio: non ho verificato se la serie effettivamente convergeva, che è la PRIMA cosa che bisogna fare. Me ne sarei potuto accorgere prima che non convergesse 
...perché naturalmente per la fretta ho visto la radice di $ n $ e sono andato dritto lì. Ora mi sono ricordato che lo applichi invece quando all'interno della serie hai termini elevati alla $ n $.
Devo dormire di più.
"sellacollesella":
Ti sei confuso con il criterio di convergenza della radice, che qui non è stato applicato.
...perché naturalmente per la fretta ho visto la radice di $ n $ e sono andato dritto lì. Ora mi sono ricordato che lo applichi invece quando all'interno della serie hai termini elevati alla $ n $.
Devo dormire di più.
Un paio di commenti: il primo è che non sei obbligato a verificare la condizione necessaria di convergenza sempre e comunque prima di procedere con i criteri. Come tutti i risultati, la condizione necessaria di convergenza è una possibile strada per dimostrare qualcosa: se funziona bene, altrimenti altre strade sono ugualmente valide. Anzi, a volte è più semplice calcolare i limiti corrispondenti ai criteri del rapporto/radice che quello della successione sotto il segno di serie.
Il secondo è che non hai applicato correttamente il criterio della radice. Devi fare il limite della radice $n$-esima della successione sotto il segno di serie, quindi avresti dovuto calcolare:
\[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}} = \lim_{n \to +\infty} \left({\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}}\right)^{1/n} = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{(1/n) \cdot (1/n)} = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{1/n^2} \]
Il secondo è che non hai applicato correttamente il criterio della radice. Devi fare il limite della radice $n$-esima della successione sotto il segno di serie, quindi avresti dovuto calcolare:
\[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}} = \lim_{n \to +\infty} \left({\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}}\right)^{1/n} = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{(1/n) \cdot (1/n)} = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{1/n^2} \]
Ciao ncant,
La serie proposta non soddisfa la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy, quindi non può convergere; essendo poi a termini positivi, si conclude che è positivamente divergente. Fine dell'esercizio.
La serie proposta non soddisfa la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy, quindi non può convergere; essendo poi a termini positivi, si conclude che è positivamente divergente. Fine dell'esercizio.
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