Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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In una dimostrazione ho che dati due insiemi A e B, so per ipotesi che A=B. Secondo voi da tale ipotesi si può inferire per quanto ovvio che sia che C-A=C-B, per un qualunque C, o formalmente devo dimostrare prima il teorema:
$AA A,B,C (A=B)<=>[(C-A)=(C-B)]$
Vorrei sapere se ho svolto correttamente questo esercizio e se esistono metodi migliori per farlo, grazie mille.
Sia $ \phi : Z[x] \rightarrow Q $ un omomorfismo d'anelli.
( a ) Si provi che $ Im \phi \ne Q $
Supponiamo per assurdo che $ Im \phi = Q $ allora, per il Teorema di Corrispondenza, $ \frac{Z[x]} {ker \phi} $ è isomorfo a $ Q $ Dunque $ \frac{Z[x]} {ker \phi} $ è un campo. Questo è assurdo infatti osservo che, poiché $ \phi $ è un omomorfismo $ \phi ( 1 ) = 1 $ il che implica che ...
Salve ragazzi, ho difficoltà con questo esercizio molto banale (per voi)
Siano $n,a,b$ appartenenti(non trovo il simbolo di appartenenza) ad $N$ con $n=ab$. Mostrare che $(a+b)/2>=sqrtn$
il testo aggiunge anche: "Quindi se $ a<sqrtn<b$ , $|sqrtn-a|<|sqrtn-b|$ ($a$ è piu vicino a $sqrtn$ di $b$).
ps: quale differenza c'è tra mostrare e dimostrare? forse anche questo mi blocca un pò nel procedere.
L'esercizio è il seguente:
1 ) Si dica se il seguente anello R è un campo e, in caso di risposta negativa, si determinino i suoi ideali massimali.
$ R = \frac{Q[x]}{(x^3-3x+2)}$
Io ho fatto così:
Poiché $Q$ è un campo allora $R$ è un campo se e solo se $(x^3-3x+2)$ è irriducibile, ma questo polinomio si scompone come $ (x+2)(x-1)^2$ dunque $R$ non è un campo.
Poiché $Q$ è un campo e $(f) = (x^3-3x+2)$ è un ideale proprio si ha che gli ...
Ho studiato gli automorfismi di $S_3$ nel modo seguente.
So che $S_3/(Z(S_3))~=Im(S_3)<=Aut(S_3)$ dove $Im(S_3)$ è il gruppo degli automorfismi interni di $S_3$ e $Aut(S_3)$ è il gruppo degli automorfismi di $S_3$.
So che $Z(S_3)=1$, quindi $S_3/(Z(S_3))=S_3~=Im(S_3)<=Aut(S_3)$ da cui $|Aut(S_3)|>=|S_3|=6$.
Scelgo dei generatori per $S_3=<(1 2),(1 2 3)>$.
Siccome gli automorfismi (in generale, gli isomorfismi) preservano l'ordine degli elementi, un generico $phi\inAut(S_3)$ deve ...
L'esercizio mi chiede di dimostrare che ogni elemento irriducibile di $ Z[x] $ è primo senza usare il fatto che è un UFD.
Io ho pensato questo:
Sia $ f \in Z[x] $ polinomio irriducibile e siano $g,h \in Z[x]$ polinomi tali che $ f | gh $
Se $deg f = 0$ si ha che $f \in Z$ dunque scriviamo $ g = a g_0 $ e $ h = b h_0 $ con $ a. b \in Z $ e $ g_0, h_0 \in Z[x] $ polinomi primitivi. Ovviamente $ f \ne 1 $ e $ f \ne -1 $ poiché è ...
Buon pomeriggio a tutti,
avrei bisogno di un chiarimento sul calcolo della norma in un campo di numeri. Mostro subito un esempio per essere più chiaro.
Sia $ K = mathbb(Q) (zeta_9) $, dove $ zeta_9 $ è la radice ciclotomica nona; chiaramente $ mathbb(Q) sube K $ è un'estensione di campi di numeri. Devo calcolare la norma dell'elemento $ 1+2 zeta_9 ^3 $ (uguale a $ 1+2zeta_3 $), che appartiene a K ma non a $ mathbb(Q) $.
Il mio ragionamento è il seguente: so che la norma di un elemento è ...
Buona giornata, sto provando a studiare un po' di algebra per conto mio ma sono un po' carente. Non riesco a capire bene le dimostrazioni dei due seguenti esercizi.
$1$
SIa $G$ un gruppo di ordine $15$. Dimostrare che $G$ è ciclico.
Riesco a dire, usando Sylow, che G contiene uno e un solo gruppo di ordine $3$ e uno e un solo di odine $5$. Siccome sono gli unici sottogruppi del loro ordine, riesco a dire che ...
Sto studiando l'appendice sull'algebra omologica del Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry di Eisenbud e sto cercando di fare qualche esercizio tra quelli più semplici, ma non me ne riesce quasi nessuno.
Il primo recita
Sia $x\in R$ un elemento dell'anello R che non divide lo zero. Mostrare che
\[ \operatorname{Tor}_1(R/x, M)=\{m\in M \mid xm=0\} \]
(M dovrebbe essere un qualsiasi modulo su R).
In pratica ho a disposizione solo la ...
Ho un dubbio da esporvi riguardo ai teoremi di De Morgan all'interno della teoria degli insiemi.
Essi affermano che
$ (AnnB)^c=(A^cuuB^c)$
$ (AuuB)^c=(A^cnnB^c) $
ma a quanto ho scoperto, A e B non devono per forza essere sottoisiemi di un insieme universo. Infatti vale più in generale anche:
$C-(AnnB)=(C-A)uu(C-B)$
$C-(AuuB)=(C-A)nn(C-B)$
In questo caso, i teoremi di De Morgan vengono ad essere dei casi particolari, in cui A e B risultano sottoinsiemi di C.
Voi che ne pensate?
so che dato un gruppo $G$ e un insieme non vuoto $X$ una rappresentazione permutazionale è un omomorfismo $r:G->S_X$, e un'azione è una applicazione $t:(x;g)inX X G->xg in X$ tale che $x1=x$ e $x(g_1g_2)=(xg_1)g_2$, potete spiegarmi perche una azione permutazionale determina una permutazione e il viceversa?
Salve forum!
Ho cercato di provare l'equivalenza di due definizioni del limite diretto, mi piacerebbe se poteste darmi la vostra opinione.
Comincio con le definizioni varie, do per scontata la nozione di famiglia induttiva $(G_n, \phi_n)$.
Definizione 1. Sia \(G= \bigoplus _{n \in \mathbb{Z}} G_n\) la somma diretta dei gruppi $G_n$. Per ogni $n$ sia $f_n:G_n \rightarrow G$ l'inclusione dell'addendo n-esimo nella somma diretta.
Sia $H$ il sottogruppo di G ...
Un gruppo può contenere tutte involuzioni? E in particolare in un gruppo finito al massimo quante involuzioni ci possono essere, e se il gruppo è abeliano?
Grazie
Vi faccio una domanda molto semplice (almeno per voi). Al minuto 4:02 il professore di questo video cerca di capire se la radice quadrata di 2 può essere rappresentata sotto forma di una frazione. Alla fine però si scopre che la radice quadrata di 2 non appartiene all'insieme dei numeri Razionali e che quindi non può essere espressa in quel modo. La mia domanda è, come ci è arrivato? come mai (m^2)/(n^2) non può essere uguale a 2? non capisco il suo ragionamento. qualcuno può aiutarmi a ...
Salve ragazzi, è proprio vero che i nodi vengono al pettine! Ho trascurato la parte dell'unione ed intersezione di famiglie di insiemi. Ogni volta che incontravo un esercizio su questo argomento passavo avanti perchè non riuscivo a capirlo. Specialmente per quanto riguarda l'intersezione. Provo a svolgerne 3 spiegandovi i miei dubbi e chiedendovi di aiutarmi a capire meglio la logica di questi esercizi.
1.1 Per ogni $ninNN$ sia $A_n = {x in NN | x != n+1}$ Calcolare $uuu_{n in NN} A_n$ e ...
Salve ragazzi, il mio studio procede bene e l'esame di matematica discreta e logica si fa sempre più vicino! Sono arrivato allo studio dei semigruppi e dei monoidi (molto simpatici)
Ho qui due esercizi. Ho alcuni dubbi su entrambi. Il primo credo di averlo capito e spero di averlo risolto! Mentre sul secondo ho un dubbio sulle proprietà dei logaritmi che poi vi chiederò durante lo svolgimento.
1.1
a) Consideriamo l'insieme ${1,-1}$ con l'operazione prodotto ...
Buon pomeriggio a tutti,
riguardando un esercizio sulla teoria di Galois svolto in classe ho notato un passaggio non chiaro nell'esecuzione, che si può ridurre a una questione di estensioni di campi.
L'affermazione è la seguente: posto $ E := mathbb(Q) (sqrt(2/3)) $, siccome $ mathbb(Q) (sqrt(3)) $ e $ mathbb(Q) (sqrt(2/3)) $ sono contenuti in $ E $ allora $ sqrt(3) cdot sqrt(2/3) = sqrt(2) $ appartiene ad $ E $. Quindi $ E(sqrt(2)) = E $.
Ora, a me non risulta che sia $ mathbb(Q) (sqrt(3)) sube E $... se infatti ...
Ed eccomi ancora qui ragazzi! Con i miei dubbi. Adesso son partito con lo studio delle funzioni in algebra! E' l'argomento che fa più fatica ad entrarmi in testa
Ho due esercizi sui quali chiedervi aiuto. Scrivo le due tracce e poi le soluzioni parziali che son riuscito a dare.
1.1 Sia $\psi : ZZ -> ZZ$ la funzione data da $\psi(n)=2n^2-3n+5$
Determinare: $\psi(0), \psi^-1(5), \psi^-1(0)$
Si tratta di una funzione iniettiva?
Si tratta di una funzione suriettiva?
1.2 Sia $\psi : NN \times NN -> NN$ la funzione data ...
Salve a tutti, sono uno studente di Matematica per l'Ingegneria al Politecnico di Torino e devo preparare l'esame di algebra e topologia.
Ho frequentato tutto il corso ma non so proprio come fare per studiarlo. Ho difficoltà nell' "immaginare" ciò che viene spiegato e molto spesso non so da dove partire nel fare una dimostrazione per entrambe le materie.
Qualcuno saprebbe aiutarmi su come affrontare questi due esami?
Davvero non so come fare, io ce la sto mettendo tutta ma proprio non comprendo ...
Come faccio a dimostrare che gruppi isomorfi hanno gruppi di automorfismi isomorfi?
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