Esercizi su gruppi di Sylow

[Vincent46]

Buona giornata, sto provando a studiare un po' di algebra per conto mio ma sono un po' carente. Non riesco a capire bene le dimostrazioni dei due seguenti esercizi.

$1$
SIa $G$ un gruppo di ordine $15$. Dimostrare che $G$ è ciclico.

Riesco a dire, usando Sylow, che G contiene uno e un solo gruppo di ordine $3$ e uno e un solo di odine $5$. Siccome sono gli unici sottogruppi del loro ordine, riesco a dire che sono normali. So anche che sono ciclici. Poi nel dettaglio come concludo?

Edit: ok, forse mi è venuta l'illuminazione:
Chiamiamo $H$ e $K$ rispettivamente i sottogruppi di ordine $3$ e $5$.
$H$ e $K$ hanno intersezione banale, perché sono ciclici con ordine (co)primo;
$H$ e $K$ sono sottogruppi normal, perché sono gli unici del loro ordine;
quindi $HK \cong H \times K$.
Allora $HK$ ha ordine 15, perciò $HK = G$ e $G \cong H \times K$.
D'altronde $H \times K \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \cong \mathbb{Z}_15$ (perché 3 e 5 sono coprimi).
Probabilmente l'ho fatta lunghissima XD[/list:u:2ltpz7wf]

$2$
Dimostrare che un gruppo abeliano finito è prodotto diretto dei propri sottogruppi di Sylow.

Penso si possa dire che esiste uno e un solo sottogruppo di Sylow per ogni ordine, usando il fatto che sotogruppi di Sylow dello stesso ordine sono sempre coniugati; infatti, detto $H$ un $p$-sottogruppo di Sylow, allora si ha, $\forall x \in G$, che $x^(-1)Hx = H$ (usando la commutatività).
Poi come concludo?

Grazie mille

[vict85]

Per il primo in effetti l'hai fatta un po' lunga. Bastava usare il fatto che erano ciclici e coprimi. Oppure che esisteva un unico sottogruppo per ogni divisore di 15.

Per il secondo devi farlo in due step. Il primo step è che il teorema vale per i $p$-gruppi, il secondo è che un gruppo abeliano è prodotto diretto dei suoi $p$-sottogruppi.

[Vincent46]

E se procedessi così:

Supponendo $|G| = p_1^(\alpha_1)...p_r^(\alpha_r)$, e detto $S_(p_i)$ il corrispondente (unico) $p$-sottogruppo di Sylow, verifico le seguenti:

$1)$ L'intersezione di $S_(p_i)$ con $S_(p_1)...S_(p_(i-1))S_(p_(i+1))...S_(p_r)$ è banale, per ogni $i \in {1, ..., r}$;
$2)$ Ogni $S_(p_i)$ è normale in $G$; [/list:u:2kkdnvfc]

per cui $S_(p_1)...S_(p_r) \cong S_(p_1) \times ... \times S_(p_r) \cong G$, come nell'esercizio 1 qui sopra?

Grazie

[vict85]

Si, avevo letto male, pensavo dovessi dimostrare che è prodotto di sottogruppi ciclici.