Calcolo di \( \operatorname{Tor}_1(R/x, M)\)
Sto studiando l'appendice sull'algebra omologica del Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry di Eisenbud e sto cercando di fare qualche esercizio tra quelli più semplici, ma non me ne riesce quasi nessuno.
Il primo recita
In pratica ho a disposizione solo la definizione di \(\operatorname{Tor}(R/x,-)\) come l'omologia della tensorizzazione per \(R/x\) di una qualsiasi risoluzione proiettiva di M.
Sospetto che possa essere utile l'isomorfismo \(R/x \otimes_R P \cong P/{xP} \), ma anche usandolo non riesco a concludere.
Il primo recita
Sia $x\in R$ un elemento dell'anello R che non divide lo zero. Mostrare che
\[ \operatorname{Tor}_1(R/x, M)=\{m\in M \mid xm=0\} \]
(M dovrebbe essere un qualsiasi modulo su R).
In pratica ho a disposizione solo la definizione di \(\operatorname{Tor}(R/x,-)\) come l'omologia della tensorizzazione per \(R/x\) di una qualsiasi risoluzione proiettiva di M.
Sospetto che possa essere utile l'isomorfismo \(R/x \otimes_R P \cong P/{xP} \), ma anche usandolo non riesco a concludere.
Risposte
A me sembra che basta applicare la definizione di \(\displaystyle\mathrm{Tor}_1^R(\_,M)\)!
Immagino \(R/x\) stia per \(R/(x)\). In tal caso si ha che \[0 \to R \stackrel{- \cdot x}{\longrightarrow} R \stackrel{\pi}{\to} R/x \to 0 \] (dove la prima mappa non banale è il prodotto per \(x\) e la seconda è la proiezione sul quoziente) è esatta, ed è una risoluzione libera di \(R/x\), allora \(\text{Tor}_1^R(R/x,M)\) si può caratterizzare come l'\(R\)-modulo che rende esatta la successione \[\text{Tor}(R/x,M) \to R \otimes M \to R \otimes M \to R/x \otimes M \to 0\] imponendo l'esattezza hai \(\text{Tor}(R/x,M) \cong \text{ker}((- \cdot x) \otimes M)\), dal momento che per ipotesi \(x\) non divide lo zero quel nucleo è costituito dagli elementi di \(M\) annichiliti da \(x\).
Vi ringrazio!
A quel punto del libro si è ancora ben lontani dal dimostrare che \(\operatorname{Tor}\) "commuta" (anche se viene accennato), l'idea chiave non mi sarebbe mai venuta.
A quel punto del libro si è ancora ben lontani dal dimostrare che \(\operatorname{Tor}\) "commuta" (anche se viene accennato), l'idea chiave non mi sarebbe mai venuta.
"_fabricius_":Il termine corretto è "bilanciato"
...A quel punto del libro si è ancora ben lontani dal dimostrare che \(\operatorname{Tor}\) "commuta"...
L'Eisenbud lo dimostra nella sezione sulle sequenze spettrali a cui non sono ancora arrivato, esiste un modo più semplice?
"_fabricius_":
L'Eisenbud lo dimostra nella sezione sulle sequenze spettrali...
Una dimostrazione "a mano" mediante i bicomplessi, la trovi nell'appendice B di H. Matsumura, M. Reid - Commutative ring theory; altrimenti i capitoli 6 e 7 di J. Rotman - An Introduction to Homological Algebra, mediante i funtori derivati.
Avevo scritto un commento che ho rimosso temendo di generare confusione. Prima di (eventualmente) riscriverlo: @j18eos, cosa intendi esattamente per "bilanciato"?
Sia \(\displaystyle B:\mathbf{C}\times\mathbf{C}\to\mathbf{D}\) un funtore; questi si definisce bilanciato se:
\[
\forall X,Y\in\mathrm{Ob}(\mathbf{C}),\,B(X,Y)\simeq_{\mathbf{D}}B(Y,X).
\]
Esempi sono le somme dirette e i prodotti tensoriali di moduli su un fissato anello!, in generale i prodotti (in categorie con un oggetto finale) e i coprodotti (in categorie con oggetto iniziale) definiscono funtori bilanciati.
Esempi più fini, fissato un anello (commutivo con unità) \(\displaystyle R\), sono i funtori \(\displaystyle\mathrm{Tor}^R\) ed \(\displaystyle\mathrm{Ext}_R\).
\[
\forall X,Y\in\mathrm{Ob}(\mathbf{C}),\,B(X,Y)\simeq_{\mathbf{D}}B(Y,X).
\]
Esempi sono le somme dirette e i prodotti tensoriali di moduli su un fissato anello!, in generale i prodotti (in categorie con un oggetto finale) e i coprodotti (in categorie con oggetto iniziale) definiscono funtori bilanciati.
Esempi più fini, fissato un anello (commutivo con unità) \(\displaystyle R\), sono i funtori \(\displaystyle\mathrm{Tor}^R\) ed \(\displaystyle\mathrm{Ext}_R\).
j18eos: funtorialmente in [tex](X,Y)[/tex] immagino, cioè compatibilmente con i morfismi, in altre parole [tex]\cong_D[/tex] induce un isomorfismo naturale tra i funtori [tex](X,Y) \mapsto B(X,Y)[/tex] e [tex](X,Y) \mapsto B(Y,X)[/tex] (è così?)
Dove hai preso questa definizione?
Dove hai preso questa definizione?
@Epimenide93 & Martino Qualcosa mi dice che esiste la definizione di funtore bilanciato, e non è quella che ho riportato.[nota]C'ho azzeccato?[/nota]
La fonte è stata una chiacchierata col mio prof. di algebra commutativa sui funtori \(\displaystyle\mathrm{Tor}^R\) (e sui prodotti tensoriali di moduli), niente di scritto.
La fonte è stata una chiacchierata col mio prof. di algebra commutativa sui funtori \(\displaystyle\mathrm{Tor}^R\) (e sui prodotti tensoriali di moduli), niente di scritto.
Non ne ho idea 
La definizione che dai tu io la chiamerei semplicemente simmetria, o direi che un dato bifuntore è simmetrico, ma non ho un riferimento per la terminologia.
Yup, anche se prima che tu li nominassi non ne ero al corrente. In ambito omologico, Weibel dà una definizione piuttosto diversa, che tuttavia entra in gioco nella discussione del perché \(\text{Tor}\) sia simmetrico. Wikipedia invece usa prodotto bilanciato come sinonimo di mappa bilineare
Comunque sia, tornando alla questione originale, che \(\text{Tor}\) debba essere simmetrico mi sembra un fatto tutt'altro che scontato. Il prodotto tensoriale è simmetrico perché vien fuori da una costruzione universale che passa per un prodotto. Le due entries di \(\text{Tor}\) sono profondamente diverse, in quanto (prima di passare all'omologia) una è la variabile "prendi una risoluzione proiettiva di questa cosa" e l'altra è la variabile "tensorizza tutta la risoluzone con questo oggetto", a priori non vedo proprio perché i due processi dovrebbero essere invertibili, pur sapendo che \(A \otimes B \cong B \otimes A\).
"j18eos":
Qualcosa mi dice che esiste la definizione di funtore bilanciato, e non è quella che ho riportato.
Yup, anche se prima che tu li nominassi non ne ero al corrente. In ambito omologico, Weibel dà una definizione piuttosto diversa, che tuttavia entra in gioco nella discussione del perché \(\text{Tor}\) sia simmetrico. Wikipedia invece usa prodotto bilanciato come sinonimo di mappa bilineare
Comunque sia, tornando alla questione originale, che \(\text{Tor}\) debba essere simmetrico mi sembra un fatto tutt'altro che scontato. Il prodotto tensoriale è simmetrico perché vien fuori da una costruzione universale che passa per un prodotto. Le due entries di \(\text{Tor}\) sono profondamente diverse, in quanto (prima di passare all'omologia) una è la variabile "prendi una risoluzione proiettiva di questa cosa" e l'altra è la variabile "tensorizza tutta la risoluzone con questo oggetto", a priori non vedo proprio perché i due processi dovrebbero essere invertibili, pur sapendo che \(A \otimes B \cong B \otimes A\).
"Epimenide93":Vero, c'è solo il sospetto iniziale!
...che \( \text{Tor} \) debba essere simmetrico mi sembra un fatto tutt'altro che scontato...
Se rileggi, ho cancellato una parte errata di un mio precedente intervento.
"j18eos":
Se rileggi, ho cancellato una parte errata di un mio precedente intervento.
Non avevo notato.
"j18eos":
c'è solo il sospetto iniziale!
Tutto chiaro
In effetti il fatto che \(Tor_1(A,B)\cong Tor_1(B,A)\) va dimostrato; questo viene fatto in termini elementari sul libro "A course in Homological Algebra", dove i primi funtori derivati di $\hom$ e $\otimes$ vengono costruiti senza usare la teoria dei funtori derivati. C'e' proprio una dimostrazione esplicita che il $Tor$ e l'$Ext$ che si ottengono risolvendo un termine e l'altro sono canonicamente isomorfi, che usa (essenzialmente solo) le proprieta' universali dei pullback.
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