Radicale di Jacobson di un'Algebra di gruppo
Salve a tutti, avrei bignogno di un aiuto, mi sono bloccato in un passaggio della dimostrazione del seguente Teorema:
Sia G un gruppo di Frobenius di nucleo N e complemento P (Sylow p-gruppo)
allora \( J(F[G]) =\bigcap_{x \in G} J(F[P^x]) F[G]\).
pag. 15 di: http://www.ams.org/journals/proc/1979-0 ... 9203-1.pdf
Il passaggio in questione è il seguente: \( \widehat{G} +t \ 1=\widehat{N}+\sum_{i=1}^{t} \widehat{P_i}\) in F[G].
Aiutatemi per favore...
Sia G un gruppo di Frobenius di nucleo N e complemento P (Sylow p-gruppo)
allora \( J(F[G]) =\bigcap_{x \in G} J(F[P^x]) F[G]\).
pag. 15 di: http://www.ams.org/journals/proc/1979-0 ... 9203-1.pdf
Il passaggio in questione è il seguente: \( \widehat{G} +t \ 1=\widehat{N}+\sum_{i=1}^{t} \widehat{P_i}\) in F[G].
Aiutatemi per favore...
Risposte
Hai [tex]G = N \cup P_1 \cup \ldots \cup P_t[/tex], inoltre due qualsiasi di questi sottogruppi si intersecano in 1 ("unions are disjoint on the nonidentity elements"). Quindi quando fai la somma [tex]\sum_{x \in G} x[/tex], è come fare la somma [tex]\sum_{x \in N}x + \sum_{i=1}^t \sum_{x \in P_i} x[/tex] senonché qui stai contando l'identità [tex]t+1[/tex] volte, mentre in [tex]\sum_{x \in G} x[/tex] l'identità compare solo una volta, quindi per compensare devi aggiungere [tex]t[/tex] uni a sinistra dell'uguale.
PS. Benvenuto nel forum
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\(\widehat{P_i}\) è l'annullatore sinistro di \(J(F[P_i]) F[G]\), ma allora perchè \(\widehat{P_i}=\sum_{x \in P_i} x\).
[tex]\widehat{P_i}[/tex] è per definizione la somma [tex]\sum_{x \in P_i} x[/tex].
Forse questa cosa me la sono persa, dov'è scritta questa definizione di \(\widehat{P_i}\) nella dimostrazione?
Ma allora perchè \( \widehat{P_i} \) sono gli annullatori sinistri di \( J(F[P_i]) F[G]\)?
Ma allora perchè \( \widehat{P_i} \) sono gli annullatori sinistri di \( J(F[P_i]) F[G]\)?
Si deduce dal contesto che nelle notazioni dell'articolo mettere il cappello a un sottogruppo vuol dire prendere la somma dei suoi elementi. Poi deduco dal contesto che si dimostra che [tex]\widehat{P_i}[/tex] annichilisce [tex]J(F[P_i])F[G][/tex]. Ora devo staccare, ma se chiedi a me io proverei a dimostrare che in generale [tex]\widehat{G}[/tex] annichilisce [tex]J(F[G])[/tex] a sinistra e poi applicarlo al tuo caso. Ma è solo un'idea, non so se funziona.
grazie
Penso di aver dimostrato che se G è p-grupppo allora \( \widehat{G} \) annicchilisce \( J(F[G]) \).
G è p-grupppo allora \( J(F[G])=\sum_{x \in G \backslash \{ 1 \} } (x-1) F \)
Sia \(g_1=1,g_2,...,g_n=g \) con \(n=|G|\),
\( (g-1)(1+g_2+...g_{n-1}+g)=g+gg_2+...+gg_{n-1}+gg-1-g_2-...-g=0 \).
Segue la tesi.
Secondo te è giusta?
G è p-grupppo allora \( J(F[G])=\sum_{x \in G \backslash \{ 1 \} } (x-1) F \)
Sia \(g_1=1,g_2,...,g_n=g \) con \(n=|G|\),
\( (g-1)(1+g_2+...g_{n-1}+g)=g+gg_2+...+gg_{n-1}+gg-1-g_2-...-g=0 \).
Segue la tesi.
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