Proprietà del prodotto tensore
Ciao a tutti.
Non riesco a capire come dimostrare la seguente proprietà del prodotto tensore:
Prop. Siano $M,N,P$ tre $A$-moduli. Allora esiste un isomorfismo univocamente determinato tale che:
$$(M\oplus N)\otimes_{A} P \cong (M\otimes_{A} P)\oplus (N\otimes_{A} P)$$
e l'isomorfismo dovrebbe essere \( (x,y)\otimes z \overset{\phi}{\longmapsto} (x\otimes z,y\otimes z) \)
Però non riesco a dimostrarlo.
Con la proprietà universale del prodotto tensore riesco a dire che esiste un unico omomorfismo di $A$-moduli $\phi$ da $(M\oplus N)\otimes_{A} P$ a $(M\otimes_{A} P)\oplus (N\otimes_{A} P)$ fatto esattamente come quello che ho definito sopra ma non riesco a trovare il possibile inverso o a dimostrare che $\phi$ è iniettivo e surgettivo.
Non riesco a capire come dimostrare la seguente proprietà del prodotto tensore:
Prop. Siano $M,N,P$ tre $A$-moduli. Allora esiste un isomorfismo univocamente determinato tale che:
$$(M\oplus N)\otimes_{A} P \cong (M\otimes_{A} P)\oplus (N\otimes_{A} P)$$
e l'isomorfismo dovrebbe essere \( (x,y)\otimes z \overset{\phi}{\longmapsto} (x\otimes z,y\otimes z) \)
Però non riesco a dimostrarlo.
Con la proprietà universale del prodotto tensore riesco a dire che esiste un unico omomorfismo di $A$-moduli $\phi$ da $(M\oplus N)\otimes_{A} P$ a $(M\otimes_{A} P)\oplus (N\otimes_{A} P)$ fatto esattamente come quello che ho definito sopra ma non riesco a trovare il possibile inverso o a dimostrare che $\phi$ è iniettivo e surgettivo.
Risposte
La proprietà che cerchi di dimostrare è un caso particolare di un fatto generale, ovverosia del fatto che gli aggiunti sinistri rispettano i colimiti.
Detta meglio: per ogni \(P\in A\text{-Mod}\) il funtore $-\otimes_A P$ è aggiunto sinistro al funtore \(\hom_A(P,-)\) che manda \(N\in A\text{-Mod}\) nell'$A$-modulo degli omomorfismi $P\to N$, ovvero esiste l'isomorfismo di $A$-moduli
\[ \hom_A(M\otimes_A P , N)\cong \hom_A(M, \hom_A(P, N))\] naturale in ognuna delle componenti.
A questo punto però è facile dedurre la proprietà che vuoi, ricordando che \(\hom_A(-, V)\) commuta coi colimiti:
\[\begin{align*}
\hom_A((\varinjlim M_i)\otimes_A P, Q) &\cong \hom_A(\varinjlim M_i, \hom_A(P,Q))\\
&\cong \varinjlim \hom_A( M_i, \hom_A(P,Q))\\
&\cong \varinjlim \hom_A(M_i\otimes_A P, Q)\\
&\cong \hom_A(\varinjlim (M_i\otimes_A P), Q)\\
\end{align*}\] I due $A$-moduli \((\varinjlim M_i)\otimes_A P\) e \( \varinjlim (M_i\otimes_A P) \) devono ora essere isomorfi, perché sono isomorfi i funtori \(A\text{-Mod}\to A\text{-Mod}\) rappresentati da questi oggetti.
Vi sono dei modi di dimostrare questo fatto che sembrano più elementari, ma secondo me sono solo un modo di rifrasare questo argomento, oppure sono inutilmente farraginosi (mostrare che l'unico morfismo \((\varinjlim M_i)\otimes_A P\to \varinjlim M_i\otimes_A P\) è iniettivo è piuttosto fastidioso perché entrambi gli insiemi si ottengono come quozienti da relazioni di equivalenza su insiemi più grossi).
Detta meglio: per ogni \(P\in A\text{-Mod}\) il funtore $-\otimes_A P$ è aggiunto sinistro al funtore \(\hom_A(P,-)\) che manda \(N\in A\text{-Mod}\) nell'$A$-modulo degli omomorfismi $P\to N$, ovvero esiste l'isomorfismo di $A$-moduli
\[ \hom_A(M\otimes_A P , N)\cong \hom_A(M, \hom_A(P, N))\] naturale in ognuna delle componenti.
A questo punto però è facile dedurre la proprietà che vuoi, ricordando che \(\hom_A(-, V)\) commuta coi colimiti:
\[\begin{align*}
\hom_A((\varinjlim M_i)\otimes_A P, Q) &\cong \hom_A(\varinjlim M_i, \hom_A(P,Q))\\
&\cong \varinjlim \hom_A( M_i, \hom_A(P,Q))\\
&\cong \varinjlim \hom_A(M_i\otimes_A P, Q)\\
&\cong \hom_A(\varinjlim (M_i\otimes_A P), Q)\\
\end{align*}\] I due $A$-moduli \((\varinjlim M_i)\otimes_A P\) e \( \varinjlim (M_i\otimes_A P) \) devono ora essere isomorfi, perché sono isomorfi i funtori \(A\text{-Mod}\to A\text{-Mod}\) rappresentati da questi oggetti.
Vi sono dei modi di dimostrare questo fatto che sembrano più elementari, ma secondo me sono solo un modo di rifrasare questo argomento, oppure sono inutilmente farraginosi (mostrare che l'unico morfismo \((\varinjlim M_i)\otimes_A P\to \varinjlim M_i\otimes_A P\) è iniettivo è piuttosto fastidioso perché entrambi gli insiemi si ottengono come quozienti da relazioni di equivalenza su insiemi più grossi).
Abbia pazienza ma i concetti che mi hai scritto non posso capirli. Non ho mai fatto limiti diretti ne colimiti.
Cercavo di trovare l'omomorfismo inverso sfruttando solo la proprietà universale del prodotto tensore.
Penso che sia fattibile siccome l'Atiyah Macdonald enuncia tale proprietà (senza dimostrarla) nel secondo capitolo (ossia gli A-moduli) ma non mi sta venendo in mente. Ci penso. Ti ringrazio per la risposta
Cercavo di trovare l'omomorfismo inverso sfruttando solo la proprietà universale del prodotto tensore.
Penso che sia fattibile siccome l'Atiyah Macdonald enuncia tale proprietà (senza dimostrarla) nel secondo capitolo (ossia gli A-moduli) ma non mi sta venendo in mente. Ci penso. Ti ringrazio per la risposta
"Davi90":
Abbia pazienza ma i concetti che mi hai scritto non posso capirli. Non ho mai fatto limiti diretti ne colimiti.
Non è niente di difficile, devi solo dimostrare il primo isomorfismo che scrivo, il resto segue formalmente
Ok credo di aver capito la tua dimostrazione. Ho voluto dare prima un occhio ai colimiti giusto per capire che oggetto fosse xD.
Grazie per la risposta!:)
Grazie per la risposta!:)
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